2018年湖南省株洲市高考一模数学理 13页

2018 年湖南省株洲市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则 A∩B=( ) A.{x|0＜x＜2} B.{x|1＜x＜2} C.{x|x＞0} D.{x|x＜2} 解析：∵B={x|2x＞1}={x|x＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜2}. 答案：A 2.已知 2 1 iai  ＝ ，其中 i 为虚数单位，a∈R，则 a=( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2 解析：由 2 1 iai  ＝ ， 得 2=(1﹣i)(a+i)=a+1+(1﹣a)i， ∴ 12 10 a a    ＝ ＝ ，即 a=1. 答案：B 3.已知等比数列{an}是递增数列，Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1+a3=5，a1a3=4，则 S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 解析：设公比为 q，因为{an}是递增的等比数列，所以 q＞0.an＞an﹣1 因为 a1+a3=a1+a1q2=5，且 a1＞0，a3＞0，又 a1a3=a2 2=4， 所以得 a1=1，a2=2，a3=4，q=2， 则 S6= 1 1 a q (1﹣q6)=q6﹣1=64﹣1=63. 答案：C 4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明. 图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为 30°，若 向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 ( ) A.134 B.866 C.300 D.500 解析：设大正方形的边长为 2x，则小正方形的边长为 3 x﹣x， 向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒(大小忽略不计)， 设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 a， 则     2 2 3 1000 2 xxa x  ＝ ， 解得 4 2 31000 1344a  . 答案：A 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x＞0 时，f(x)=x2﹣x，则不等式 f(x)＞0 的解集用区 间表示为( ) A.(﹣1，1) B.(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) C.(﹣∞，﹣1)∪(0，1) D.(﹣1，0)∪(1，+∞) 解析：根据题意，当 x＞0 时，f(x)=x2﹣x， 若 f(x)＞0，则有 x2﹣x＞0，解可得 x＞1，即在(1，+∞)上，f(x)＞0，反之在(0，1)上， f(x)＜0， 又由函数为奇函数，则在(0，﹣1，)上，f(x)＞0，在(﹣∞，﹣1)上，f(x)＜0， 则不等式 f(x)＞0 的解集为(﹣1，0)∪(1，+∞)； 答案：D 6.(1+x﹣x2)10 展开式中 x3 的系数为( ) A.10 B.30 C.45 D.210 解析：(1+x﹣x2)10=[1+(x﹣x2)]10 的展开式的通项公式为  2 1 10 rr rT C x x . 对于(x﹣x2)r，通项公式为  2 1 mm r m mrT C x x      ， 令 r+m=3，根据 0≤m≤r，r、m 为自然数，求得 2 1 r m    ＝ ＝ ，或 r m    ＝ 3 ＝ 0 . ∴(1+x﹣x2)10 展开式中 x3 项的系数为 2 1 3 0 10 2 10 3 90 120 30C C C C      . 答案：B 7.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为 ( ) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1， 其中△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=2，AB⊥AC， AA1⊥平面 ABC，AA1=2，如图， ∴该三棱柱外接球的半径 222 1 222 322 BCR    ， ∴该三棱柱外接球的表面积：  224 4 3 12Sr      . 答案：C 8.已知[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2.执行如图所示的程序框 图，则输出 S 的值为( ) A.450 B.460 C.495 D.550 解析：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 1 2 3 99 100 10 10 10 10 10S                                     的值， 1 2 3 99 100 10 10 10 10 10S                                     =10 × 0+10 × 1+10 × 2+…+10 × 9+10=10+20+30+…+90+10=460. 答案：B 9.已知函数   m x xf x nx e ＝ (m，n 为整数)的图象如图所示，则 m，n 的值可能为( ) A.m=2，n=﹣1 B.m=2，n=1 C.m=1，n=1 D.m=1，n=﹣1 解析：根据图象可得    11 1 2fne   ， ，当 n=﹣1 时，不满足，故排除 A，D； 当 m=n=1 时，     1110 x x x x x x e xf x x f x e e e      ， ＝ ＝ ＞ 恒成立， 故函数 f(x)无极值点，故不符合题意. 答案：B 10.已知 f(x)=cosω x，(ω ＞0)的图象关于点  3 04  ， 对称，且 f(x)在区间 20 3 ， 上单调， 则 ω 的值为( ) A.1 B.2 C.10 3 D. 2 3 解析：f(x)的图象关于( 3 4  ，0)对称， ∴cos 3 4  ω =0，∴ 3 42k ，k∈Z， 解得 24 33 k  ，k∈Z； 令 kπ ≤ω x≤π +kπ ，解得 kkx        ，k∈Z； ∴f(x)在[0，   ]上是单调减函数， ∵f(x)在(0， 2 3  )上单调， ∴ 2 3   ，解得 ω ≤ 3 2 ； 又∵ω ＞0， ∴ω = 2 3 . 答案：D 11.已知抛物线 C1：y2＝4x 和圆 C2：(x-1)2+y2＝1，直线 y=k(x﹣1)与 C1，C2 依次相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)四点(其中 x1＜x2＜x3＜x4)，则|AB|·|CD|的值为( ) A.1 B.2 C. 2 4 k D.k2 解析：∵y2=4x，焦点 F(1，0)，准线 l0：x=﹣1. 由定义得：|AF|=xA+1， 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA， 同理：|CD|=xD， 由题意可知直线 l 的斜率存在且不等于 0， 则直线 l 的方程为：y=k(x﹣1)代入抛物线方程，得：k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0， ∴xAxD=1，则|AB|·|CD|=1. 综上所述，|AB|·|CD|=1. 答案：A 12.已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此 棱柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1，分别交于三点 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三 角形斜边长的最小值为( ) A. 22 B.3 C. 23 D.4 解析：如图，不妨设 N 在 B 处，AM=h，CQ=m， 则有 MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=(h﹣m)2+4 由 MB2=，=BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2=0. △=h2﹣8≥0⇒h2≥8 该直角三角形斜边 MB= 24 2 3h . 答案：C 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，E 为边 BC 的中点，则 AE AB =______. 解析：∵E 为等边三角形 ABCBC 的中点，∴∠BAE=30°，AE= 3 ， ∴ cos 30 2 3 cos 30 3AE AB AE AB        . 答案：3 14.已知实数 x，y 满足 12 0 0 xy x y        ，则 z=2x+y 的最大值为=______. 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分). 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z， 平移直线 y=﹣2x+z， 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大， 此时 z 最大. 由 2 0 xy y    ＝ ＝ ，解得 C(2，0) 将 C(2，0)的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2×2+0=4.即 z=2x+y 的最大值为 4. 答案：4 15.已知双曲线 E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 E 的离心率为=______. 解析：根据题意，如图：设双曲线 E 经过的正方形的四个顶点为 A、B、C、D， 其 A 在第一象限， 双曲线的两个焦点为 F1、F2， 连接 AF1， 若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c， |AF2|=c， 则有|AF1|= 5 c， 则 2a=|AF1|﹣|AF2|=( 5 ﹣1)c， 则双曲线的离心率 51 2 ce a  . 答案： 51 2  16.如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij 表示位于第 i 行第 j 列 的数.则 112 在这“等差数阵”中出现的次数为=______. 4 7 10 … a1j … 7 12 17 … a2j … 10 17 24 … a3j … … … … … … … ai1 ai2 ai3 … aij … … … … … … … 解析：根据图象和每行、每列都是等差数列， 该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列：a1j=4+3(j﹣1)， 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列：a2j=7+5(j﹣1) 第 i 行是首项为 4+3(i﹣1)，公差为 2i+1 的等差数列， 因此 aij=4+3(i﹣1)+(2i+1)(j﹣1)=2ij+i+j， 要找 112 在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数 i，j，使得 2ij+i+j=112， 所以 112 21 ij i   ， 当 i=1 时，j=37， 当 i=2 时，j=22， 当 i=4 时，j=12， 当 i=7 时，j=7， 当 i=12 时，j=4， 当 i=22 时，j=2， 当 i=37 时，j=1. ∴112 在这“等差数阵”中出现的次数为 7. 答案：7 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，A＝30°，BC＝ 25，点 D 在 AB 边上，且∠BCD 为锐角，CD=2，△BCD 的面 积为 4. (1)求 cos∠BCD 的值； (2)求边 AC 的长. 解析：(1)首先利用三角形的面积公式求出 sin∠BCD 的值，进一步利用同角三角函数的关系 式求出结果. (2)利用余弦定理和勾股定理逆定理求出结果. 答案：(1)∵BC＝ ，CD＝2， 则： 1 sin 42BCDS BC CD BCD  ＝ ＝ ， ∴ 2in 5 5s BCD ＝ . ∴ 5cos 5BCD ＝ ； (2)在△BCD 中， 552 2 cos 5CD BC BCD＝ ， ＝ ， ＝ ， 由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD·BC·cos∠BCD=16， 即 DB=4， ∵DB2+CD2=BC2， ∴∠BCD=90°， 即△ACD 为直角三角形， ∵A=30°， ∴AC=2CD=4. 18.如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，平面 CBE 与平面 BDE 垂直，且 CB⊥BE. (1)求证：ED⊥平面 ABCD； (2)若 AB⊥AD，AB=AD=1，且平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 ，求 AF 的 长. 解析：(1)推导出 CB⊥BE，从而 CB⊥面 BDE，进而 CB⊥ED，再由 ED⊥AD，能证明 ED⊥平面 ABCD. (2)以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 分别为 x，y，z 轴建立空间坐标系，利用向量法能出 AF=DE=1. 答案：(1)因为平面 CBE 与平面 BDE 垂直， 且 CB⊥BE，平面 CBE 与平面 BDE 的交线为 BE， 所以 CB⊥面 BDE， 又 ED⊂面 BDE，所以，CB⊥ED， 在矩形 ADEF 中，ED⊥AD， 又四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，所以 AD 与 CB 相交， 故 ED⊥平面 ABCD. 解：(2)由(1)知，ED 垂直 DA，ED 垂直 DC，又 AD 垂直 AB，AB 平行 CD，所以 DC 垂直 DA， 如图，以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 分别为 x，y，z 轴建立空间坐标系 AD＝AB＝1，AB⊥AD，BD＝ 2 又 CB⊥BD，∠CDB=45°，所以 DC=2， 设 DE=a，则 B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，a)， BE =(﹣1，﹣1，a)， BC =(﹣1，1，0) 设平面 BEC 的法向量为  n x y z＝ ， ， ， 则 00 00 n x y aBE z xyn BC        ＝ ＝ ＝＝ ，令 x=1，则 y＝1，z＝ 2 a ，所以平面 BEC 的法向量为 ， 平面 ADEF 的法向量为 m ＝(0，1，0)， 因为平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 ， 则 6cos 6nm， ＝ ， 即 2 16 6 2 4 a ＝ ，解得 a=1，即 AF=DE=1. 19.某协会对 A，B 两家服务机构进行满意度调查，在 A，B 两家服务机构提供过服务的市民 中随机抽取了 1000 人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为 60 分. 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)， [40，50)，[50，60]，得到 A 服务机构分数的频数分布表，B 服务机构分数的频率分布直方 图： A 服务机构分数的频数分布表 分数区间 频数 [0，10) 20 [10，20) 30 [20，30) 50 [30，40) 150 [40，50) 400 [50，60] 350 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下： 分数 [0，30) [30，50) [50，60] 满意度指数 0 1 2 (1)在抽样的 1000 人中，求对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数； (2)从在 A，B 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 B 服务机构评价的“满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率； (3)如果从 A，B 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由. 解析：(1)由对 B 服务机构的频率分布直方图，得对 B 服务机构“满意度指数”为 0 的频率 为 0.2，由此能求出对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数. (2)设“对 B 服务机构评价‘满意度指数’比对 A 服务机构评价‘满意度指数’高”为事件 C.记“对 B 服务机构评价‘满意度指数’为 1”为事件 B1；“对 B 服务机构评价‘满意度指 数’为 2”为事件 B2；“对 A 服务机构评价‘满意度指数’为 0”为事件 A0；“对 A 服务机 构评价‘满意度指数’为 1”为事件 A1.P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)，由此能求出该学生对 B 服务 机构评价的“满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率. (3)如果从学生对 A，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出 B 服务机构 “满意度指数”X 的分布列和 A 服务机构“满意度指数”Y 的分布列，由此能出结果. 答案：(1)由对 B 服务机构的频率分布直方图，得： 对 B 服务机构“满意度指数”为 0 的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2， 所以，对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数为 1000×0.2=200 人. (2)设“对 B 服务机构评价‘满意度指数’比对 A 服务机构评价‘满意度指数’高”为事件 C. 记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’ 为 2”为事件 B2； “对 A 服务机构评价‘满意度指数’为 0”为事件 A0；“对 A 服务机构评价‘满意度指数’ 为 1”为事件 A1. 所以 P(B1)=(0.02+0.02)×10=0.4，P(B2)=0.4， 由用频率估计概率得：P(A0)=0.1，P(A1)=0.55， 因为事件 Ai 与 Bj 相互独立，其中 i=1，2，j=0，1. 所以 P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)=0.3， 所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的 概率为 0.3. (3)如果从学生对 A，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B 服务机构“满意 度指数”X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4 A 服务机构“满意度指数”Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 0.1 0.55 0.35 因为 E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25， 所以 E(X)＜E(Y)，会选择 A 服务机构. 20.已知椭圆 C： 22 221yx ab  ＝ (a＞b＞0)与直线 l：bx﹣ay=0 都经过点  2 2 2M ， .直线 m 与 l 平行，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 MA，MB 与 x 轴分别交于 E，F 两点. (1)求椭圆 C 的方程； (2)证明：△MEF 为等腰三角形. 解析：(1)将点 M 分别直线方程及椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； (2)设直线 m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得 kMA+kMB=0，即可 求得△MEF 为等腰三角形. 答案：(1)由直线 l：bx﹣ay=0 都经过点  2 2 2M ， ，则 a=2b， 将  2 2 2M ， 代入椭圆方程： 22 221 4 yx bb  ＝ ，解得：b2=4，a2=16， ∴椭圆 C 的方程为 22 116 4 yx  ＝ ； (2)证明：设直线 m 为： 1 2y x t＝ ，A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立： 22 116 4 1 2 yx y x t      ＝ ＝ ，整理得 x2+2tx+2t2﹣8=0， ∴x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣8， 设直线 MA，MB 的斜率为 kMA，kMB，要证△MEF 为等腰三角形， 只需 kMA+kMB=0，由 12 12 22 2 2 2 2M A M B yykk xx   ＝ ， ＝ ，             221 2 1 2 1 2 1 2 22 2 8 4 2 2 4 2 8 0 2 2 2 2 2 2 2 2 M A M B x x t x x t t t tkk x x x x               ， ， 所以△MEF 为等腰三角形. 21.已知函数 f(x)=lnx+a(x﹣1)2(a＞0). (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点 x0，证明： 3 12 0e x e  ＜ ＜ . 解析：(1)求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)设   1ln 2 xg x x x ＝ ，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可. 答案：(1)   22 2 1ax axfx x  ＝ ， ①当 0＜a≤2 时，f'(x)≥0，y=f(x)在(0，+∞)上单调递增， ② 当 a ＞ 2 时 ， 设 2ax2 ﹣ 2ax+1=0 的 两 个 根 为  1 2 1 2 10 2x x x x， ＜ ＜ ＜ ，且 22 12 22 22 a a a a a axxaa   ＝ ， ＝ ， y=f(x)在(0，x1)，(x2，+∞)单调递増，在(x1，x2)单调递减. (2)证明：依题可知 f(1)=0，若 f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点 x0， 由(1)可知 a＞2，且  01 10 2xx＝ ， . 于是：lnx0+a(x0-1)2＝0①2ax0 2-2ax0+1＝0② 由①②得 0 0 0 1ln 02 xx x  ＝ ，设   1ln 2 xg x x x ＝ ，(x∈(0，1))， 则   2 21 2 xgx x  ＝ ，因此 g(x)在 10 2 ， 上单调递减， 又   3 3 12 12 430022 eeg e g e     ＝ ＞ ， ＝ ＜ 根据零点存在定理，故 3 12 0e x e  ＜ ＜ . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的 正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 1 cos sin xt yt      ＝ ＝ (t 为参数). (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 13AB ＝ ，求直线的倾斜角 α 的值. 解析：(1)由曲线 C 的极坐标方程，得 ρ 2=4ρ cosθ .由 x2+y2=ρ 2，x=ρ cosθ ，y=ρ sinθ ， 能求出曲线 C 的直角坐标方程. (2)将直线 l 的参数方程代入圆的方程，得：t2﹣2tcosα ﹣3=0.利用韦达定理和弦长公式能 求出直线的倾斜角 α 的值. 答案：(1)由曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ ，得 ρ 2=4ρ cosθ . ∵x2+y2=ρ 2，x=ρ cosθ ，y=ρ sinθ ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4x=0，即(x﹣2)2+y2=4. (2)将直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入圆的方程，得： (tcosα ﹣1)2+(tsinα )2=4， 化简得 t2﹣2tcosα ﹣3=0. 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 12 12 2 cos 3 tt tt    ＝ ＝ ， ∴   2 2 1 2 1 2 1 24 4 cos 12 13AB t t t t t t         ， 4cos2α =1，解得 1cos 2 ＝ ， ∴α ＝ 3  或α ＝ 2 3  . [选修 4-5：不等式选讲.] 23.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|+a， (1)若 a=﹣1，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若方程 f(x)=2x 有三个不同的解，求 a 的取值范围. 解析：(1)通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出取并集即可； (2)求出 a=2x+|x|﹣|2x+1|，令 g(x)=2x+|x|﹣|2x+1|，结合函数的图象求出 a 的范围即可. 答案：(1)当 a=﹣1 时，不等式 f(x)≥0 可化为：|2x+1|﹣|x|﹣1≥0， ∴           11 0022 2 1 1 02 1 1 0 2 1 1 0 xxx xxx x x x                         ＜ ＜ 或 或 ， 解得：x≤﹣2 或 x≥0， ∴不等式的解集为(﹣∞，﹣2]∪[0，+∞). (2)由 f(x)=2x 得：a=2x+|x|﹣|2x+1|， 令 g(x)=2x+|x|﹣|2x+1|，则：         131 2 1102 10 xx g x x x xx                ＜ ＝ ＜ ， 作出函数 y=g(x)的图象如图示， 易知    11 0122AB  ， ， ， ， 结合图象知：当 11 2a＜ ＜ 时，函数 y=a 与 y=g(x)的图象有三个不同交点， 即方程 f(x)=2x 有三个不同的解， ∴a 的取值范围为 11 2， .