青海省西宁市2019-2020学年高二下学期期末联考数学（文）试题答案 6页

第 1 页 第 2 页 2019---2020 学年第二学期高二文科数学期末试卷答案 一．单选题（共 12 小题,共 60 分） 1 D 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7A． 8C 9 C 10 D 11 C 12 B． 1. 若复数z = − 1 2 1 + i ，则 z 的共轭复数的虚部是( ) A.− 1 2 푖 B.1 2 푖 C.− 1 2 D.1 2 【正确答案】 D 【答案解析】复数 ， 则 z 的共轭复数 ， 虚部是 ． 2. 已知函数 f（x）的导函数 f′（x）的图象如图所示，则 f（x）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 【答案解析】当 x＜0 时，由导函数 f＇(x)＝ax2+bx+c＜0，知相应的函数 f(x)在该区间内单调 递减； 当 x＞0 时，由导函数 f＇(x)＝ax2+bx+c 的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于 0 的， 则在此区间内函数 f(x)单调递增． 只有 D 选项符合题意． 3. 下列函数中，在(0，+∞)内为增函数的是( ) A.y=sinx B.y=e2x C.y=x3-x D.y=ln x-x 【正确答案】 B 【答案解析】对于 B，y'=e2，所以 y=xe2 在 R 上为增函数，在(0，+∞)上也为增函数。 4. 函数 f(x)=ln x-x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 第 3 页 第 4 页 【正确答案】 B 【答案解析】略 5. 读下面的程序框图，若输入的值为-5，则输出的结果是（ ） A.-1 B.-2 C.2 D.1 【正确答案】 A 【答案解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用选择结构计算并输出变量 的值， 当 x=-5 时， ， 故选：A． 6. 设函数 f(x)的导数为 f＇(x)，且 f(x)＝x2+2xf＇(1)，则 f(2)＝（ ） A.0 B.-4 C.4 D.8 【正确答案】 B 【答案解析】函数的导数 f＇(x)＝2x+2f＇(1)， 令 x＝1，得 f＇(1)＝2+2f＇(1)，得 f＇(1)＝﹣2， 则 f(x)＝x2+2xf＇(1)＝x2﹣4x，则 f(2)＝4﹣8＝﹣4， 故选：B． 7. 若复数(1+bi)(2﹣i)是纯虚数（b 是实数，i 是虚数单位），则 b 等于（ ） A.﹣2 B.− 1 2 C.1 2 D.2 【正确答案】 A 【答案解析】(1+bi)(2﹣i)＝(2+b)+(2b﹣1)i， 由纯虚数的定义可得：2+b＝0 且 2b﹣1≠0，∴b＝﹣2． 故选：A． 8. 已知函数 f(x)＝x3，f＇（ x）是 f(x)的导函数，若 f＇(x0)＝12，则 x0＝（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.± 2 【正确答案】 C 【答案解析】函数的导数 f＇(x)＝3x2，若 f＇(x0)＝12， 即 3x0 2＝12 得 x0 2＝4，得 x0＝±2， 故选：C． 9. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足(1﹣i)•z＝2i，푧是复数 z 的共轭复数，则下列关于复数 z 的说法 正确的是（ ） A.z＝﹣1﹣i B.|z|＝2 C.z•푧＝2 D.复数 z 在复平面内表示的点在第四象限 【正确答案】 C 【答案解析】∵(1﹣i)•z＝2i， ∴ ， ∴|z|＝ 2， ＝﹣1﹣i，∴ ＝(﹣1+i)(﹣1﹣i)＝1+1＝2， 复数 z 在复平面内表示的点在第二象限， 第 5 页 第 6 页 故选：C． 10. 若 f(x)=e，则 푓 푒+훥푥 −푓 푒 훥푥 =( ) A.e B.ln푒 C.1 D.0 【正确答案】 D 【答案解析】 ， f(x)=e，则 f＇(x)=0， ∴ ， 故答案选：D． 11. 曲线 y=2sinx+cosx 在点(휋，-1)处的切线方程为( ) A.x-y-휋-1=0 B.2x-y-2휋-1=0 C.2x+y-2휋+1=0 D.x+y-휋+1=0 【正确答案】 C 【答案解析】由 y=2sinx+cosx，得 y′=2cosx-sinx， ∴y′|x=π=2cosπ-sinπ=-2， ∴曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为 y+1=-2(x-π)， 即 2x+y-2π+1=0． 故选：C． 12. 已知曲线 y=x2+2x-2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是( ) A.(-1，3) B.(-1，-3) C.(-2，-3) D.(-2，3) 【正确答案】 B 【答案解析】y=x2+2x-2 的导数为 y′=2x+2， 设 M(m，n)，则在点 M 处的切线斜率为 2m+2， 由于在点 M 处的切线与 x 轴平行， 则 2m+2=0，解得 m=-1， n=1-2-2=-3， 即有 M(-1，-3)． 故选 B． 二．填空题（共 4 小题,共 20 分） 13. 2 14 .45° 15.y=2x-2． 16. 13. 已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1+i)(1﹣bi)=a，则푎 푏的值为_______． 【正确答案】 2 【答案解析】解：∵(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i=a，a，b∈R， ∴ ，解得： ，∴ ， 故答案为：2 14. 曲线 y=x3-2x+4 在(1，3)处的切线的倾斜角为_______． 【正确答案】 45° 【答案解析】y′=3x2-2，切线的斜率 k=3×12-2=1． 故倾斜角为 45°． 故答案为：45°． 15. 曲线 y=2lnx 在点(1，0)处的切线方程为_______． 【正确答案】 y=2x-2 【答案解析】∵y=2lnx， ∴ ， 当 x=1 时，y′=2 第 7 页 第 8 页 ∴曲线 y=2lnx 在点(1，0)处的切线方程为 y=2x-2． 故答案为：y=2x-2． 16. 曲线 y=1 푥在 x=2 处的切线的斜率为________． 【正确答案】− 1 4 【答案解析】∵ 则 ∴曲线 在 x=2 处的切线的斜率为 ． 故答案为： . 三．解答题（共 6 小题,共 69 分） 17.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (훼为参数)，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为휌sin 휋 6 − 휃 = 3 2 ． （10 分） (1) 求曲线 C1，C2 的直角坐标方程； 解：将 ，消去参数，得曲线 C1 的直角坐标方程为 ，„( 2 分) 将 展开整理，得 ， 因为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 „( 5 分) (2)判断曲线 C1，C2 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由． 解：由(1)知曲线 C2 是过定点 的直线，因为点 在曲线 C1 的内部，所以曲线 C1 与曲 线 C2 相交．将 代入 并整理，得 7y2+6y﹣1＝0，(7 分) 设曲线 C1，C2 的两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， 故曲线 C1，C2 两交点间的距离 ．(10 分) 18.已知函数 f(x)＝ax2﹣2ax+2+b，(a≠0)，若 f(x)在区间[2，3]上有最大值 5，最小值 2．（ 12 分） (1) 求 a，b 的值； 解：由于函数 f(x)＝ax2﹣2ax+2+b＝a(x﹣1)2+2+b﹣a，(a≠0)，对称轴为 x＝1， 当 a＞0 时，函数 f(x)在区间[2，3]上单调递增，由题意可得 ， 解得 ．„( 2 分) 当 a＜0 时，函数 f(x)在区间[2，3]上单调递减，由题意可得 ， 解得 ． 综上可得， ，或 ．„( 6 分) (2) 若 b＜1，g(x)＝f(x)﹣mx 在[2，4]上为单调函数，求实数 m 的取值范围． 解：若 b＜1，则由(1)可得 ，g(x)＝f(x)﹣mx＝x2﹣(m+2)x+2，„( 8 分) 第 9 页 第 10 页 再由函数 g(x)在[2，4]上为单调函数，可得 ，或 ， 解得 m≤2，或 m≥6， 故 m 的范围为(﹣∞，2]∪[6，+∞)．„( 12 分) 19.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值．（12 分） (1) 判断 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由； 证明：由 f(x)=ax3+bx2-3x，得 f′(x)=3ax2+2bx-3， ∴ ，解得 ． ∴f(x)=x3-3x．„( 2 分) 则 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)． ∴当 x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，f′(x)＞0，„( 4 分) 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0， 则 f(x)的单调增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)； 单调减区间为(-1，1)．„( 6 分) ∴f(-1)为函数的极大值，f(1)为函数的极小值.„( 7 分) (2) 求函数 y=f(x)在点 A(-2，-2)处的切线方程． 解：由(1)得，f′(x)=3x2-3，„( 9 分) 则 f′(-2)=9，„( 10 分) ∴函数 y=f(x)在点 A(-2，-2)处的切线方程为 y-(-2)=9(x+2)， 即 9x-y+16=0．„( 12 分) 20.某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生就餐“光盘习惯”的调查中，随机发放了 120 份调 查问卷．对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下2 ×2 列联表： （12 分） (1) 求表中 x，y 的值； 解：由题意可知： „( 3 分) ，解得： „( 6 分) ， ∴x=30，y=15 (2) 若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表， 最精确的 P 的值应为多少？请说明理由． 附：独立性检验统计量퐾2 = 푛 푎푑−푏푐 2 푎+푏 푐+푑 푎+푐 푏+푑 ，其中 n=a+b+c+d． （6 分） 解： ， „( 9 分) 2.706＜3.03＜3.840，„( 10 分) 第 11 页 第 12 页 所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即 P=0.1．„( 12 分) 21.在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 上两 点 M，N 的极坐标分别为(2，0)，(2 3 3 ， 휋 2)，圆 C 的参数方程 (휃为参数)．（ 12 分） (1) 设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； 解：由题意，M(2，0)，N(0， )，P(1， )，„(2 分) ∴直线 OP 的平面直角坐标方程为 ；„( 5 分) (2) 判断直线 l 与圆 C 的位置关系． 解：直线 l 的方程为： ，„( 7 分) 圆心坐标为(2， )，圆的半径为 2，„( 9 分) 圆心到直线的距离 ， ∴直线 l 与圆 C 相交．„( 12 分) 22.设函数 f(x)=1−푎 2 푥2+ax-lnx(a∈R)．（ 12 分） (1) 当 a=1 时，求函数 f(x)的极值；） 解：函数的定义域为(0，+∞)，„( 2 分) 当 a=1 时， ．„( 4 分) 令 f＇(x)=0，得 x=1． 当 0＜x＜1 时，f＇(x)＜0；当 x＞1 时，f＇(x)＞0， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴f(x)极 小值=f(1)=1，无极大值．„( 6 分) (2) 当 a≥2 时，讨论函数 f(x)的单调性． 解： ，„( 8 分) 当 ，即 a=2 时， ，f(x)在(0，+∞)上是减函数； 当 ，即 a＞2 时，令 f＇(x)＜0，得 或 x＞1，令 f＇(x)＞0，得 ， 当 ，a＜2 时与已知矛盾，舍，„( 10 分) 综上，当 a=2 时，f(x)在(0，+∞)单调递减；当 a＞2 时，f(x)在 和(1，+∞)上单 调递减，在 上单调递增.„( 12 分)