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- 2021-06-24 发布
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湖南省益阳市2021届高三9月调研考试
数学试题
2020.9
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1.已知集合A=,B=,则AB=
A.(﹣2,) B.(﹣2,3) C.(2,3) D.(2,)
2.已知复数为纯虚数(其中i为虚数单位,aR),则a=
A.﹣2 B. C. D.2
3.已知半径为1的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示,则该几何体体积为
A. B.
C. D.
4.已知随机变量服从正态分布N(1,),若P(<4)
=0.9,则P(﹣2<<4)=
A.0.2 B.0.4
C.0.6 D.0.8 第3题
5.2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为
A. B. C. D.
6.在△ABC中,,AC=BC=2,,则=
A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
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7.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点,且,O为坐标原点,则=
A. B. C.4 D.
8.已知函数,若,则a的取值范围是
A.[﹣2,0] B.(,2]
C.[﹣2,2] D.(,﹣2][2,)
二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9.已知双曲线C:过点(3,),则下列结论正确的是
A.C的焦距为4 B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为 D.直线2x﹣y﹣1=0与C有两个公共点
10.已知定义在R上的偶函数在[0,1]上单调递增,且,则下列结论正确的是
A.直线x=3是的一条对称轴 B.是周期为2的周期函数
C.在(1,2)上单调递减 D.x=2是函数的一个零点
11.下面的结论中,正确的是
A.若aR,则
B.若a>0,b>0,,则a+b≥2
C.若b>a>0,m>0,则
14
D.若a>b>0且,则ab=1
12.函数的部分图像如图中实线所示,图中的M、N是圆C与图像的两个交点,其中M在y轴上,C是图像与x轴的交点,则下列说法中正确的是
A.函数的一个周期为
B.函数的图像关于点(,0)成中心对称
C.函数在(,)上单调递增
D.圆C的面积为
第12题
三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13.若,则= .
14.的展开式中x的系数是 .(用数字填写答案)
15.已知函数,则的
零点个数为 .
16.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1中点,
过点D1作平面,满足CP⊥平面,则平面与正方体
ABCD—A1B1C1D1的截面周长为 .
第16题
四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
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在①,②,③这三个 条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答.
问题:已知数列是等比数列,且,其中,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记 ,求数列的前2n项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,a+acosC=csinA,c=.
(1)求∠C;
(2)求△ABC面积的最大值.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD.
(1)求证:PD⊥AB;
(2)若直线PA与BC所成角为,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
14
已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒,其余5名未感染,需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者,呈阴性即为未感染者.
(1)若从这6名密切接触者中随机抽取2名,求抽到感染者的概率;
(2)血液化验确定感染者的方法有:方法一是逐一化验;方法二是平均分组混合化验,先将血液样本平均分成若干组,对组内血液混合化验,若化验结果呈阴性,则该组血液不含病毒,若化验结果呈阳性,则对该组的备份血液逐一化验,直至确定感染者.
(i)采取逐一化验,求所需化验次数的分布列及数学期望;
(ii)采取平均分成三组混合化验(每组血液份数相同),求该分组方法所需化验次数的数学期望.
你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,且经过点A(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,且满足,求△MON面积最大时直线l的方程.
22.(本小题满分12分)
14
已知函数,aR.
(1)当a=0时,求的单调区间;
(2)当a=1时,有成立,求实数m的取值范围.
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