宁夏银川一中2019届高三上学期第五次月考 数学（文）试卷（PDF版） 8页

1 银川一中2019届高三年级第五次月考 文 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合  1|  xxM ，  13|  xxN ，则 MN= A．  B． 01xx C． 0xx D． 1xx 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回 家乡”的( )条件. A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 3．四名同学根据各自的样本数据研究变量 ,xy之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个 结论： ① y与x负相关且 2.347 6.423yx； ② y与x负相关且 3.476 5.648yx   ； ③ y与x正相关且 5.437 8.493yx； ④ y与x正相关且 4.326 4.578yx   ． 其中一定错误的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．设向量  41，a ,  x,2b  , ba c ．若 c//a ,则实数 x 的值是 A．-4 B．2 C．4 D．8 5．设 ba  ，则函数    bxaxy  2 的图象可能是 6．按照如图程序运行，则输出 k 的值是 A．3 B．4 C．5 D．6 7．若复数  sincos iz  且   122  zz ，则 2sin ＝ A．1 4 B．1 2 C．3 4 D．1 8．如图，大正方形面积为34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一颗幸运星，则幸运 2 星落在小正方形内的概率为 A． 1 17 B． 2 17 C． 3 17 D． 4 17 9．已知数列 na 的通项公式是 ）（ 2 12sin2  nnan ，则  10321 aaaa  A．110 B．100 C．55 D．0 10．斜率为2的直线 l 过双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 的右焦点， 且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范 围是 A． ＜ 2 B．1＜ ＜ 3 C．1＜ ＜ 5 D． ＞ 5 11．若点P在平面区域 2 2 0 2 1 0 30 xy xy xy      ≥ ≤ ≤ 上，点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最小值为 A． 5－1 B． 4 5 －1 C．2 2－1 D． 2－1 12．若函数 1)( 2  xxf 的图象与曲线C:  01)(  aaexg x 存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A．    2 4,0 e B．    2 8,0 e C．      ，2 2 e D．      ，2 6 e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余的7个分数的平均分为91，现场作的9个分 数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示： ，则该图中 的值为_____． 14．设{ }na 是首项为 1a ，公差为1的等差数列， nS 为其前 n 项和．若 1 2 4,,S S S 成等比数列，则 1a 的值为 ______． 15．已知抛物线C： xy 2 的焦点为F,点  nmA , 是抛物线C上一点， mAF 4 5 ， 则 m ． 16．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F 分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝λ，B1F＝μ．若 平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围 是 ． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分) 17．(12分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 ,,, cba 已知 12cossinsinsinsin  BCBBA ． 3 （1）求证： cba ,, 成等差数列； （2）若 3 2C ，求 b a 的值． 18．(12分) 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁 以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年 龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两 组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组:  50,60 , 60,70 , 70,80 ,  80,90 , 90,100分别加以统 计,得到如图所示的频率分布直方图． (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概 率． (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表中的数据： 并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 19．(12分) 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方 形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)． (1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)证明：BD∥平面PEC； (3)线段BC上是否存在点M，使得 AE⊥PM？若存在，请说明其位置， 并加以证明；若不存在，请说明理由． 20．(12分) 已知椭圆 C ： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右顶点分别为A，B，其离心率 2 1e ，点 M 为椭圆上的一 2()P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 周岁以下组 合计 100 4 个动点， MAB 面积的最大值是 32 ． (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D ，线段 BD 的垂直平分线与 y 轴交于点 P ， 当 0 PDPB 时，求点 P 的坐标． 21．(12分) 已知函数   32 3 1 2 1ln axxxxxxf  ，  xf  为函数  xf 的导函数． (1)若     bxfxF  ，函数  xF 在 1x 处的切线方程为 012  yx ，求a 、 b 的值； (2)若曲线  xfy  上存在两条互相平行的切线，其倾斜角为锐角，求实数a 的取值范围． (二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 已知直线 l ： )( 2 3 2 11 为参数t ty tx         , 曲线 )(sin cos:1 为参数       y xC ． (1)设 l 与 1C 相交于 BA, 两点,求 || AB ； (2)若把曲线 1C 上各点的横坐标压缩为原来的 2 1 倍,纵坐标压缩为原来的 2 3 倍,得到曲线 2C ,设点 P 是 曲线 2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值． 23．选修4－5：不等式选讲 设不等式 1|12| x 的解集是 M ， Mba , ． （1）试比较 1ab 与 ba  的大小； （2）设 max 表示数集 A的最大数．        bab ba a h 2,,2max 22 ,求证： 2h ． 5 银川一中2019届高三年级第五次月考数学(文科)答案 一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D D C A A B C D A A 二.填空题： 13. 4 ； 14. 2 1 ； 15. 1 ； 16. 1＜λ＋μ＜2 . 三.解答题： 17.（本小题12分） 解：(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B, ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 因为sinB 0 ,所以sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差数列. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 (2) 由C= 2 3  ，由（1）知，c=2b-a 由余弦定理得 2 2 2(2b a) a b ab    ，即有 25ab 3b 0， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 所以 a3 b5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 18. （本小题12分） 解：(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名,所以,样本中日平均生产件数不足 60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人), ┉┉2分 记为A1,A2,A3.25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2. 从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种, 即:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少抽到一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种, 是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求概率P=错误！未找到引用源。. ┉┉6分 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15(人),“25周岁以 下组”中的生产能手40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 周岁以下组 40 合计 30 70 100 所以得： 22 2 ( ) 100 (15 25 15 45) 25 1.79( )( )( )( ) 60 40 30 70 14 n ad bcK a b c d a c b d               ┉┉10分 1.79 2.706 ，所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. ┉┉12分 19. （本小题12分） 解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形， PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4 2，BE＝2 2，AB＝AD＝CD＝CB＝4， 6 ∴VP－ABCD＝1 3PA×SABCD＝1 3×4 2×4×4＝64 2 3 . ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF， ∵EB∥PA，且EB＝1 2PA， 又OF∥PA，且OF＝1 2PA，∴EB∥OF，且EB＝OF， ∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD. 又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面 PEC.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 解法二： 可取PA的中点Q,证明平面PEC∥平面BDQ.BD⊂平面BDQ.所以BD∥平面PEC. （3）存在，点M为线段BC上任意一点. 证明如下： 连结BP，∵EB AB＝BA PA＝ 1 2 ，∠EBA＝∠BAP＝90°， ∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA， ∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE. 又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC， ∴点M为线段BC上任意一点，均可使得AE⊥PM. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 20. （本小题12分） 解 (1)由题意可知   e＝c a＝1 2， 1 2×2 ab＝2 3， a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝ 3， 所以椭圆方程为x2 4 ＋y2 3＝1. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 (2)由(1)知B(2，0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)， 把y＝k(x－2)代入椭圆方程x2 4 ＋y2 3＝1， 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 所以2＋x1＝ 16k2 3＋4k2⇒x1＝8k2－6 3＋4k2，则D   8k2－6 3＋4k2，－12k 3＋4k2 ， 所以BD中点的坐标为   8k2 3＋4k2， －6k 3＋4k2 ， 则直线BD的垂直平分线方程为y－ －6k 3＋4k2＝－1 k   x－ 8k2 3＋4k2 ，得P   0， 2k 3＋4k2 . 又PB→·PD→ ＝0，即   2，－ 2k 3＋4k2 ·   8k2－6 3＋4k2，－14k 3＋4k2 ＝0， 7 化简得64k4＋28k2－36 （3＋4k2）2 ＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，解得k＝±3 4. 故P 0，2 7 或 0，－2 7 . ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 21. （本小题12分） 解 (1)F(x)＝xln x－x＋1 2x2－1 3ax3＋b， F′(x)＝ln x＋x－ax2， ∵切点为(1，－1)，切线斜率为k＝－2， ∴   F ＝－1 F ＝－2 ⇒   －1 3a＋b＝－1 2 1－a＝－2 ⇒   a＝3 b＝1 2 ， 故a＝3，b＝1 2. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 (2)f′(x)＝ln x＋x－ax2，令g(x)＝f′(x)＝ln x＋x－ax2(x＞0)， g′(x)＝1 x＋1－2ax＝－2ax2＋x＋1 x . 令h(x)＝－2ax2＋x＋1(x＞0)， 当a≤0时，h(x)＞0， ∴g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)递增，不适合． 当a＞0时，h(x)的Δ＝1＋8a＞0，设方程h(x)＝0的二根为x1、x2，则x1·x2＝－ 1 2a＜0，不妨设x1＜0＜ x2， ∴当x∈(0，x2)时，g′(x)＞0， 当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)＜0， ∴g(x)在(0，x2)递增，在(x2，＋∞)递减， ∴   －2ax2 2＋x2＋1＝0 gx2＞0 ⇒   －2ax2 2＋x2＋1＝0 ln x2＋x2－ax2 2＞0 ① ② 由①得：ax2 2＝x2＋1 2 代入②整理得： 2ln x2＋x2－1＞0③ ∵函数u(x)＝2ln x＋x－1在(0，＋∞)递增，u(1)＝0， ∴由③得：x2＞1， 由①得：2a＝x2＋1 x2 2 ＝ 1 x2 ＋1 2 2－1 4， ∵0＜1 x2 ＜1，∴0＜2a＜2， ∴0＜a＜1. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 (二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分. 22. 解.（I） 的普通方程为 1),1(3 Cxy  的普通方程为 .122  yx 联立方程组      ,1 ),1(3 22 yx xy 解得 与 1C 的交点为 )0,1(A , )2 3,2 1( B , 8 则 1|| AB . （II） 2C 的参数方程为    ( .sin2 3 ,cos2 1        y x 为参数).故点 P 的坐标是 )sin2 3,cos2 1(  ,从而点P 到 直线 的距离是 ]2)4sin(2[4 3 2 |3sin2 3cos2 3|      d , 由此当 1)4sin(   时,d 取得最小值,且最小值为 )12(4 6  . 23．解：由| 2 1| 1 1 2 1 1, 0 1.x x x       得 解得 所以 { | 0 1}.M x x   （I） 由 Mba , ，得 10,10  ba ， 所以( 1) ( ) ( 1)( 1) 0.ab a b a b       故 1.ab a b   （II）由 }2,,2max 22     bab ba a h ，得 ,2 a h  ab bah 22  ， b h 2 ， 所以 8)(422 2222 3  ab ba bab ba a h ， 故 2h .