2020年高考真题——数学（新高考全国卷Ⅰ 适用地区：山东） Word版 7页

- 1 - 2020 年新高考全国 I 卷（山东卷） 数学 一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 设集合  |1 3A x x   ，  | 2 4B x x   ，则 A B  A． | 2 3x x  B． | 2 3x x  C． |1 4x x  D． |1 4x x  2. 2 1 2 i i   A．1 B.-1 C.i D. i 3．6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排 1 名，乙 场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 买名，则不同的安排方法共有 A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种 4.日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时 间。把地球看成一个球（球心记为 O）,地球上一点 A 的维度是指 OA 与地球赤道所在平面所成 角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面，在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道 所在平面平行，点 A 处的维度为北纬 o40 ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为 A． o20 - 2 - B． o40 C． o50 D． o90 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足 球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A.62% B.56% C.46% D.42% 6. 基本再生数 0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者 传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段,可 以用指数模型： ( ) rtI t e 描述累计感染病例数 ( )I t 随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长 率 r 与 0R ，T 近似满足 0 1R rT  ,有学者基于已有数据估计出 0 3.28R  ， 6T  .据此,在 新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 (ln 2 0.69) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 7.已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB    的取值范围是 A． ( 2,6) B． ( 6,2) C． ( 2,4) - 3 - D． ( 4,6) 8.若定义在 R 的奇函数 ( )f x 在 ( ,0) 单调递减，且 (2) 0f  ，则满足 ( 1) 0xf x x  的 的取 值范围是 A．[ 1,1] [3, )   B．[ 3, 1] [0,1]   C．[ 1,0] [1, )   D．[ 1,0] [1,3]  二、选择题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.已知曲线 2 2: 1C mx ny  . A. 若 0m n  ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 0m n  ，则C 是圆，其半径为 n C．若 0mn  ，则C 是双曲线，其渐近线方程为 my xn    D．若 0m  ， 0n  ，则C 是两条直线 10.右图是函数 sin( )y x   的部分图像，则sin( )x  = A．sin( )3x  B．sin( 2 )3 x  C.cos(2 )6x  D． 5cos( 2 )6 x  - 4 - 11.已知 a>0，b>0,且 a+b=1,则 A. 2 2 1 2a b  B. 12 2 a b  C. 2 2log log 2a b   D. 2a b  12. 信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 X 所有可能的值为 1,2，...n，且 2 i=1 i=1 P ((X=i)= >0,(i=1,2,...n) =1 log) n n i i i iH xp p p p  ， ， 义 熵定 X的信息 ，则 A. 若 1n  ，则 ( )=H X 0 B. 若 2n  ，则 H（X）随着 ip 的增大而增大 C. 若 1= ( 1,2,... )ip i nn  ，则 ( )H X 随着 ip 的增大而增大 D. 若 2mn  ， 随 机 变 量 Y 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2 ...i= m， ， 且 2 1 1,2 ... ( ) ( )j=j m jP Y m Hp p x H Y   （j =） 则（ ）= ， ， 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.斜率为 3 的直线过抛物线 2: 4C y x 的焦点，且与C 交于 A ， B 两点，则| |AB  14.将数列 2 1n 与 3 1n  的公共项从小到大排列得到数列 na ，则 na 的前 n项和为 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，  BC  DG ，垂足 为C ， - 5 - tan ∠ 3 5ODC  ，  BH DG , 12 , 2 ,EF cm DE cm A  到 直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ， 则图中阴影部分面积为______. 16.已知直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长均为 2，∠ 60BAD  °，以 1D 为球心， 5 为半 径的球面与侧面 1 1BCC B 的交线长为______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 综合题分割 17.(10 分) 在① 3ac  ,② sin 3c A  ,③ 3c b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若 问题中的三角形存在,求 c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问 题 : 是 否 存 在 ABC , 它 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , , ,a b c 且 sin 3 sin , 6A B C   ,______？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(12 分) 已知公比大于 1 的等比数列 na 满足 2 4 320, 8a a a   . (1) 求 na 的通项公式； (2)记 mb 为 na 在区间  *0,m m N 中的项的个数，求数列 mb 的前100项和 100S . 19.（12 分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 2.5PM 和 2SO 浓度（单位： 3 g m  ），得下表： - 6 - 2SO 2.5PM [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 [75,115] 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中 2.5PM 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150”的概 率； （2）根据所给数据，完成下面的 2x2 列联表： 2SO 2.5PM [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] （3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与 2SO 浓度有关？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， 综合题分割 20（12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD  底面 ABCD .设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为l . （1） 证明：l  平面 PDC （2） 已知 1PD AD  ，Q 为l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角 的正弦值的最大值. 综合题分割 2( )P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 - 7 - 21.（12 分) 已知函数   1 ln lnxf x ae x a   （1）当 a e 时，求曲线  y f x 在点  (1, 1 )f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若   1f x  ，求 a 的取值范围 22.（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，且过点 (2,1)A （1）求C 的方程 （2）点 M ，N 在C 上，且 ,AM AN AD MN  ，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得 DQ 为定值