高考数学专题复习练习：4-9 专项基础训练 4页

‎ 1．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ ‎【解析】 (1)证明 由题意知2＝＋，化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，‎ 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.‎ 从而sin A＋sin B＝2sin C.‎ 由正弦定理得a＋b＝2c.‎ ‎(2)由(1)知c＝，‎ 所以cos C＝＝ ‎＝－≥，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故cos C的最小值为.‎ ‎2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1.‎ ‎(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；‎ ‎(2)若△BCD的面积为，求边AB的长．‎ ‎【解析】 (1)在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，‎ 由正弦定理得，＝，‎ 解得sin∠BDC＝＝，‎ 则∠BDC＝或.‎ 由△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝.‎ 又由DA＝DC，得A＝.‎ ‎(2)由于B＝，BC＝1，△BCD的面积为，‎ 则·BC·BD·sin＝，解得BD＝.‎ 由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos＝1＋－2××＝，故CD＝，‎ 则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝，‎ 故边AB的长为.‎ ‎3．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，且b＝，a＞c.‎ ‎(1)求ac的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求a，c的值．‎ ‎【解析】 (1)因为＋＝ ‎＝＝，‎ 所以＝，‎ 即sin2B＝sin Asin C.‎ 由正弦定理可得b2＝ac，又b＝，所以ac＝2.‎ ‎(2)S＝acsin B＝sin B＝，‎ 又ac＝2且a＞c，‎ 所以a2＞ac＝2，即a＞，又b＝，‎ 所以A＞B，故角B一定为锐角，因此cos B＝＝.‎ 由余弦定理可知cos B＝＝，‎ 所以a2＋c2＝5，‎ 由ac＝2且a＞c，解得a＝2，c＝1.‎ ‎4．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若cos A＝，求sin C的值．‎ ‎【解析】 (1)在△ABC中，由＝，‎ 可得asin B＝bsin A，‎ 又由asin 2B＝bsin A，得 ‎2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，‎ 所以cos B＝，得B＝.‎ ‎(2)由cos A＝，可得sin A＝，则 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin A＋cos A＝.‎ ‎5．(2016·淄博模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin＝2cos A.‎ ‎(1)若cos C＝，求证：2a－3c＝0；‎ ‎(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B的值．‎ ‎【解析】 由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，‎ 即sin A＝cos A.‎ 因为A∈(0，π)，且cos A≠0，‎ 所以tan A＝，所以A＝.‎ ‎(1)证明 因为sin2C＋cos2C＝1，cos C＝，C∈(0，π)，‎ 所以sin C＝，‎ 由正弦定理知＝，即＝＝＝，‎ 即2a－3c＝0.‎ ‎(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈，‎ 因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin B＝sin[A－(A－B)]‎ ‎＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝.‎ ‎6．(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.‎ ‎【解析】 (1)证明 根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)．‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，有＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎