高考数学专题复习练习：7-4 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎【解析】 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，‎ 所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确；‎ 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，‎ 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，‎ 故选项B不正确；‎ 由基本不等式可知，选项C正确；‎ 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．‎ ‎【答案】 C ‎2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋的最大值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　B. C. D．2‎ ‎【解析】 由题意，2ab＝8，∴b＝.‎ ‎∵2≤a≤10，‎ ‎∴＋＝＋＝1＋≤1＋＝，‎ 当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ ‎【解析】 由题意知，x＋2＞0，y＋1＞0，‎ ‎(x＋2)＋(y＋1)＝4，‎ 则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)] ‎＝≥＝，当且仅当x＝，y＝时，＋取最小值.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)‎ C．[－2，2] D．[0，＋∞)‎ ‎【解析】 当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥＝－，故a大于或等于－的最大值．由基本不等式可得|x|＋≥2，‎ ‎∴－≤－2，即－的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.‎ ‎ 【答案】 B ‎5．(2016·武汉模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．0‎ ‎【解析】 由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0.‎ ‎∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2015·陕西)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q ‎【解析】 ∵0＜a＜b，∴＞，‎ 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，‎ 故f＞f()，即q＞p.‎ 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)‎ ‎＝ln a＋ln b＝ln(ab) ‎＝f()＝p.‎ 故p＝r＜q.选C.‎ ‎【答案】 C ‎7．(2016·银川模拟)若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是(　　)‎ A．2－ B.－1‎ C．3＋2 D．3－2 ‎【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．‎ ‎【答案】 C ‎8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. ‎【解析】 设t＝，则t＞0，‎ ‎∵t2＝≥＝，‎ ‎∴t≥，当且仅当x＝y时取等号．‎ ‎∴的最小值为.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．‎ ‎【解析】 因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎10．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－＝－y，则x＋y的最大值为________．‎ ‎【解析】 ∵x－＝－y，‎ ‎∴x＋y＝＋≤2，‎ 则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎11．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.‎ ‎(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)求＋的最小值．‎ ‎【解析】 (1)∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.‎ ‎∵2x＋5y＝20，‎ ‎∴2≤20，xy≤10，‎ 当且仅当2x＝5y时，等号成立．‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ ‎∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ ‎∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎(2)∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴＋＝· ‎＝≥ ‎＝，‎ 当且仅当＝时，等号成立．‎ 由 解得 ‎∴＋的最小值为.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵y＝f(x)在x＝1处有极值，∴a＋b＝6.‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值等于9.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 a2＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥4，当且仅当时取等号，即 ‎∴a2＋＋的最小值为4.‎ ‎【答案】 D ‎14．(2016·天津河西模拟)函数f(x)＝x＋(x＞2)的最小值为________．‎ ‎【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，‎ 当且仅当x＝2＝1，即x＝3时取等号．∴函数f(x)的最小值为f(3)＝4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎15．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x＞0，y＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________．‎ ‎【解析】 ∵x＞0，y＞0，不等式＋≥恒成立，‎ ‎∴m≤(x＋3y)恒成立．‎ 又∵(x＋3y)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即x＝3y时取等号，‎ ‎∴(x＋3y)的最小值为12.‎ 由m≤(x＋3y)恒成立，得m≤12，即m的最大值为12.‎ ‎【答案】 12‎ ‎16．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，‎ 当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．‎ ‎(2)获利．设该单位每月获利为S元，则 S＝200x－y＝－x2＋400x－45 000＝－(x－400)2＋35 000.因为x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．‎