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- 2021-06-24 发布
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1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
a=b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为-a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a
⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0,λ∈R)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直
a·b=0(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉=
【知识拓展】
1.向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
2.向量四点共面定理:在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a,b共面.( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).( × )
(3)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )
(5)若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0.( √ )
1.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案 C
解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=(a+b),=c,
∴·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.
2.(2016·大连模拟)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( )
A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥b D.以上都不对
答案 C
解析 因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,
所以a∥c.
又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,
所以a⊥b.故选C.
3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是________________________.
答案 和
解析 因为与向量a共线的单位向量是±,又因为向量(-3,-4,5)的模为=5,所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是±(-3,-4,5)=±(-3,-4,5).
4.如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)
答案 a+b+c
解析 =+=++
=a+b+c.
5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________.
答案
解析 ||2=2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)
=2,
∴||=,∴EF的长为.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
用,,表示,则=________________.
答案 ++
解析 ==(+),
∴=+=(+)+
=++.
(2)三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.
解 =+=+
=+(-)
=+[(+)-]
=-++.
=+=-++
=++.
思维升华 用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
(2016·青岛模拟)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2)+.
解 (1)因为P是C1D1的中点,
所以=++
=a++
=a+c+=a+c+b.
(2)因为M是AA1的中点,
所以=+=+
=-a+(a+c+b)
=a+b+c.
又=+=+
=+=c+a,
所以+=(a+b+c)+(a+c)
=a+b+c.
题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 (2016·天津模拟)如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有=(+++).
证明 (1)连接BG,
则=+
=+(+)
=++
=+,
由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.
(2)因为=-
=-
=(-)=,
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.
由(2)知=,
同理=,
所以=,即EH綊FG,
所以四边形EFGH是平行四边形,
所以EG,FH交于一点M且被M平分.
故=(+)
=+
=[(+)]+[(+)]
=(+++).
思维升华 (1)证明空间三点P,A,B共线的方法
①=λ(λ∈R);
②对空间任一点O,=+t(t∈R);
③对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法
①=x+y;
②对空间任一点O,=+x+y;
③对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1);
④∥(或∥或∥).
已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).
(1)判断,,三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解 (1)由题意知++=3,
∴-=(-)+(-)
即=+=--,
∴,,共面.
(2)由(1)知,,共面且基线过同一点M,
∴M,A,B,C四点共面.
从而点M在平面ABC内.
题型三 空间向量数量积的应用
例3 (2017·济南月考)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求证:AA1⊥BD.
(1)解 设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1.
∵=+=++=a+b+c,
∴||=|a+b+c|
=
=
==.
∴线段AC1的长为.
(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,
则cos θ=|cos〈,〉|=.
∵=a+b+c,=b-c,
∴·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,
||==
==.
∴cos θ==||=.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明 ∵=c,=b-a,
∴·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,
∴⊥,∴AA1⊥BD.
思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置;
(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角;
(3)可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
(1)求的长;
(2)求与夹角的余弦值.
解 (1)记=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×(++)=6,
∴||=,即AC1的长为.
(2)=b+c-a,=a+b,
∴||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1,
∴cos〈,〉==.
即与夹角的余弦值为.
18.坐标法在立体几何中的应用
典例 (12分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时,首先要将几何问题转化成向量问题,通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.
规范解答
(1)解 如图,建立空间直角坐标系.
依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以||==.[2分]
(2)解 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
所以=(1,-1,2),=(0,1,2),
·=3,||=,||=,
所以cos〈,〉=
=.[6分]
(3)证明 依题意得C1(0,0,2),M(,,2),
=(-1,1,-2),
=(,,0).[9分]
所以·=-++0=0,
所以⊥,即A1B⊥C1M.[12分]
1.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.
2.(2017·郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于( )
A.9 B.-9 C.-3 D.3
答案 B
解析 由题意知c=xa+yb,
即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
∴解得λ=-9.
3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( )
A.-2 B.- C. D.2
答案 D
解析 由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,
所以14-7λ=0,解得λ=2.
4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1
的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A. B. C.1 D.
答案 D
解析 ∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=1+1+1-=3-,
故||=.
5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则异面直线a,b所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 如图,设=a,=b,=c,则=a+b+c,
所以cos〈,〉==,
所以异面直线a,b所成的角等于60°,
故选C.
6.(2016·深圳模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( )
A.a B.a
C.a D.a
答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).
设M(x,y,z),
∵点M在AC1上且
=,
∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),
∴x=a,y=,z=.
∴M(,,),
∴||=
=a.
7.A,B,C,D是空间不共面四点,且·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是________三角形.(填锐角、直角、钝角中的一个)
答案 锐角
解析 因为·=(-)·(-)
=·-·-·+2
=2>0,
所以∠CBD为锐角.
同理∠BCD,∠BDC均为锐角.
8.设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为______________.
答案 ,,
解析 如图所示,取BC的中点E,连接AE.
==(+)
=+
=+(+)
=+(-+-)
=(++),
∴x=y=z=.
9.(2016·合肥模拟)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.
答案 (3,-2,2)
解析 因为a∥b,所以==,
解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,
即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).
10.(2016·天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,
①(++)2=32;
②·(-)=0;
③向量与向量的夹角是60°;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是________.
答案 ①②
解析 ①中,(++)2=2+2+2=32,故①正确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°
,故③不正确;④中,|··|=0,故④也不正确.
*11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为________.
答案 3
解析 =+=+,=+=+,
∴∥,
∴A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,
A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.
①③④正确.
12.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)·;(2)·;
(3)EG的长;
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解 (1)设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
==c-a,=-a,=b-c.
·=·(-a)
=a2-a·c=.
(2)·=(c-a)·(b-c)
=(b·c-a·b-c2+a·c)=-.
(3)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c,
||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.
(4)=b+c,=+=-b+a,
cos〈,〉==-,
由于异面直线所成角的范围是,
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
*13.(2016·沈阳模拟)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.
(1)求证:CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
(1)证明 设=a,=b,=c,
根据题意得,|a|=|b|=|c|,
且a·b=b·c=c·a=0,
∴=b+c,=-c+b-a.
∴·=-c2+b2=0.
∴⊥,即CE⊥A′D.
(2)解 ∵=-a+c,||=|a|,||=|a|.
·=(-a+c)·=c2=|a|2,
∴cos〈,〉==.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.
(1)试用a,b,c表示;
(2)求证:MN∥平面ABB1A1.
(1)解 ∵=-=c-a,
∴==(c-a).
同理,=(b+c),
∴=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.
(2)证明 ∵=+=a+b,
∴=,即MN∥AB1,
∵AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,
∴MN∥平面ABB1A1.
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