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  • 2021-06-24 发布

高考数学专题复习练习:8_6 空间向量及其运算

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‎1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.‎ ‎(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.‎ ‎3.空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a ‎⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律:(λa)·b=λ(a·b);‎ ‎②交换律:a·b=b·a;‎ ‎③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.‎ ‎4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3‎ 共线 a=λb(b≠0,λ∈R)‎ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3‎ 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0)‎ a1b1+a2b2+a3b3=0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a,b〉(a≠0,b≠0)‎ cos〈a,b〉= ‎【知识拓展】‎ ‎1.向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点.‎ ‎2.向量四点共面定理:在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a,b共面.( √ )‎ ‎(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).( × )‎ ‎(3)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.( × )‎ ‎(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )‎ ‎(5)若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0.( √ )‎ ‎1.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(  )‎ A.a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ 答案 C 解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=(a+b),=c,‎ ‎∴·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.‎ ‎2.(2016·大连模拟)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是(  )‎ A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 答案 C 解析 因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,‎ 所以a∥c.‎ 又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,‎ 所以a⊥b.故选C.‎ ‎3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是________________________.‎ 答案 和 解析 因为与向量a共线的单位向量是±,又因为向量(-3,-4,5)的模为=5,所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是±(-3,-4,5)=±(-3,-4,5).‎ ‎4.如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)‎ 答案 a+b+c 解析 =+=++ ‎=a+b+c.‎ ‎5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________.‎ 答案  解析 ||2=2=(++)2‎ ‎=2+2+2+2(·+·+·)‎ ‎=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)‎ ‎=2,‎ ‎∴||=,∴EF的长为.‎ 题型一 空间向量的线性运算 例1 (1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.‎ 用,,表示,则=________________.‎ 答案 ++ 解析 ==(+),‎ ‎∴=+=(+)+ ‎=++.‎ ‎(2)三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.‎ 解 =+=+ ‎=+(-)‎ ‎=+[(+)-]‎ ‎=-++.‎ =+=-++ ‎=++.‎ 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.‎ ‎ (2016·青岛模拟)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:‎ ‎(1);‎ ‎(2)+.‎ 解 (1)因为P是C1D1的中点,‎ 所以=++ ‎=a++ ‎=a+c+=a+c+b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点,‎ 所以=+=+ ‎=-a+(a+c+b)‎ ‎=a+b+c.‎ 又=+=+ ‎=+=c+a,‎ 所以+=(a+b+c)+(a+c)‎ ‎=a+b+c.‎ 题型二 共线定理、共面定理的应用 例2 (2016·天津模拟)如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.‎ ‎(1)求证:E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)求证:BD∥平面EFGH;‎ ‎(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有=(+++).‎ 证明 (1)连接BG,‎ 则=+ ‎=+(+)‎ ‎=++ ‎=+,‎ 由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)因为=- ‎=- ‎=(-)=,‎ 所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.‎ 由(2)知=,‎ 同理=,‎ 所以=,即EH綊FG,‎ 所以四边形EFGH是平行四边形,‎ 所以EG,FH交于一点M且被M平分.‎ 故=(+)‎ ‎=+ ‎=[(+)]+[(+)]‎ ‎=(+++).‎ 思维升华 (1)证明空间三点P,A,B共线的方法 ‎①=λ(λ∈R);‎ ‎②对空间任一点O,=+t(t∈R);‎ ‎③对空间任一点O,=x+y(x+y=1).‎ ‎(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法 ‎①=x+y;‎ ‎②对空间任一点O,=+x+y;‎ ‎③对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1);‎ ‎④∥(或∥或∥).‎ ‎ 已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).‎ ‎(1)判断,,三个向量是否共面;‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内.‎ 解 (1)由题意知++=3,‎ ‎∴-=(-)+(-)‎ 即=+=--,‎ ‎∴,,共面.‎ ‎(2)由(1)知,,共面且基线过同一点M,‎ ‎∴M,A,B,C四点共面.‎ 从而点M在平面ABC内.‎ 题型三 空间向量数量积的应用 例3 (2017·济南月考)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.‎ ‎(1)求线段AC1的长;‎ ‎(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;‎ ‎(3)求证:AA1⊥BD.‎ ‎(1)解 设=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1.‎ ‎∵=+=++=a+b+c,‎ ‎∴||=|a+b+c|‎ ‎= ‎= ‎==.‎ ‎∴线段AC1的长为.‎ ‎(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,‎ 则cos θ=|cos〈,〉|=.‎ ‎∵=a+b+c,=b-c,‎ ‎∴·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,‎ ‎||== ‎==.‎ ‎∴cos θ==||=.‎ 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.‎ ‎(3)证明 ∵=c,=b-a,‎ ‎∴·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,‎ ‎∴⊥,∴AA1⊥BD.‎ 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置;‎ ‎(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角;‎ ‎(3)可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.‎ ‎ 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求与夹角的余弦值.‎ 解 (1)记=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ ‎∴a·b=b·c=c·a=.‎ ‎||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×(++)=6,‎ ‎∴||=,即AC1的长为.‎ ‎(2)=b+c-a,=a+b,‎ ‎∴||=,||=,‎ ·=(b+c-a)·(a+b)‎ ‎=b2-a2+a·c+b·c=1,‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ 即与夹角的余弦值为.‎ ‎18.坐标法在立体几何中的应用 典例 (12分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.‎ ‎(1)求的模;‎ ‎(2)求cos〈,〉的值;‎ ‎(3)求证:A1B⊥C1M.‎ 思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时,首先要将几何问题转化成向量问题,通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.‎ 规范解答 ‎(1)解 如图,建立空间直角坐标系.‎ 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),‎ 所以||==.[2分]‎ ‎(2)解 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).‎ 所以=(1,-1,2),=(0,1,2),‎ ·=3,||=,||=,‎ 所以cos〈,〉= ‎=.[6分]‎ ‎(3)证明 依题意得C1(0,0,2),M(,,2),‎ =(-1,1,-2),‎ =(,,0).[9分]‎ 所以·=-++0=0,‎ 所以⊥,即A1B⊥C1M.[12分]‎ ‎1.在下列命题中:‎ ‎①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;‎ ‎②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;‎ ‎③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;‎ ‎④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案 A 解析 a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.‎ ‎2.(2017·郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于(  )‎ A.9 B.-9 C.-3 D.3‎ 答案 B 解析 由题意知c=xa+yb,‎ 即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),‎ ‎∴解得λ=-9.‎ ‎3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(  )‎ A.-2 B.- C. D.2‎ 答案 D 解析 由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,‎ 所以14-7λ=0,解得λ=2.‎ ‎4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1‎ 的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ A. B. C.1 D. 答案 D 解析 ∵=++,‎ ‎∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2· ‎=1+1+1-=3-,‎ 故||=.‎ ‎5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则异面直线a,b所成的角等于(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案 C 解析 如图,设=a,=b,=c,则=a+b+c,‎ 所以cos〈,〉==,‎ 所以异面直线a,b所成的角等于60°,‎ 故选C.‎ ‎6.(2016·深圳模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(  )‎ A.a B.a C.a D.a 答案 A 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).‎ 设M(x,y,z),‎ ‎∵点M在AC1上且 ‎=,‎ ‎∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),‎ ‎∴x=a,y=,z=.‎ ‎∴M(,,),‎ ‎∴||= ‎=a.‎ ‎7.A,B,C,D是空间不共面四点,且·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是________三角形.(填锐角、直角、钝角中的一个)‎ 答案 锐角 解析 因为·=(-)·(-)‎ ‎=·-·-·+2‎ ‎=2>0,‎ 所以∠CBD为锐角.‎ 同理∠BCD,∠BDC均为锐角.‎ ‎8.设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为______________.‎ 答案 ,, 解析 如图所示,取BC的中点E,连接AE.‎ ==(+)‎ ‎=+ ‎=+(+)‎ ‎=+(-+-)‎ ‎=(++),‎ ‎∴x=y=z=.‎ ‎9.(2016·合肥模拟)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.‎ 答案 (3,-2,2)‎ 解析 因为a∥b,所以==,‎ 解得x=2,y=-4,‎ 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),‎ 又因为b⊥c,所以b·c=0,‎ 即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).‎ ‎10.(2016·天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,‎ ‎①(++)2=32;‎ ‎②·(-)=0;‎ ‎③向量与向量的夹角是60°;‎ ‎④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.‎ 其中正确的序号是________.‎ 答案 ①②‎ 解析 ①中,(++)2=2+2+2=32,故①正确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°‎ ‎,故③不正确;④中,|··|=0,故④也不正确.‎ ‎*11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ‎①A1M∥D1P;‎ ‎②A1M∥B1Q;‎ ‎③A1M∥平面DCC1D1;‎ ‎④A1M∥平面D1PQB1.‎ 以上正确说法的个数为________.‎ 答案 3‎ 解析 =+=+,=+=+,‎ ‎∴∥,‎ ‎∴A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,‎ A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.‎ ‎①③④正确.‎ ‎12.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:‎ ‎(1)·;(2)·;‎ ‎(3)EG的长;‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.‎ 解 (1)设=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ ==c-a,=-a,=b-c.‎ ·=·(-a)‎ ‎=a2-a·c=.‎ ‎(2)·=(c-a)·(b-c)‎ ‎=(b·c-a·b-c2+a·c)=-.‎ ‎(3)=++=a+b-a+c-b ‎=-a+b+c,‎ ‎||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.‎ ‎(4)=b+c,=+=-b+a,‎ cos〈,〉==-,‎ 由于异面直线所成角的范围是,‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎ ‎*13.(2016·沈阳模拟)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.‎ ‎(1)求证:CE⊥A′D;‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明 设=a,=b,=c,‎ 根据题意得,|a|=|b|=|c|,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∴=b+c,=-c+b-a.‎ ‎∴·=-c2+b2=0.‎ ‎∴⊥,即CE⊥A′D.‎ ‎(2)解 ∵=-a+c,||=|a|,||=|a|.‎ ·=(-a+c)·=c2=|a|2,‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ ‎14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.‎ ‎(1)试用a,b,c表示;‎ ‎(2)求证:MN∥平面ABB1A1.‎ ‎(1)解 ∵=-=c-a,‎ ‎∴==(c-a).‎ 同理,=(b+c),‎ ‎∴=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.‎ ‎(2)证明 ∵=+=a+b,‎ ‎∴=,即MN∥AB1,‎ ‎∵AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,‎ ‎∴MN∥平面ABB1A1.‎