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- 2021-06-24 发布
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考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法
考点规范练B册第2页
基础巩固
1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是( )
A.ad>bc B.ac>bd
C.a-c>b-d D.a+c>b+d
答案D
解析由不等式的同向可加性得a+c>b+d.
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.{a|00,Δ=a2-4a≤0,得0B
答案B
解析由题意知B2-A2=-2ab≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.
4.(2016河北保定一模)已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=( )
A.(-1,1] B.[-1,1]
C.(0,1) D.[-1,+∞)
答案C
解析由题意得,A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|00的解集为{x|-20)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是 .
答案-45,+∞
解析∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.
∴a2+b2-2b≥b24+b2-2b=54b-452-45≥-45.
∴a2+b2-2b的取值范围是-45,+∞.
12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是 .
答案(-∞,1)
解析函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的对称轴为x=-k-42=4-k2.
①当4-k2<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在.
②当-1≤4-k2≤1,即2≤k≤6时,
f(x)的值恒大于零等价于f4-k2=4-k22+k-4×4-k2+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.
③当4-k2>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.
综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.
能力提升
13.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是( )
A.-∞,-32∪12,+∞
B.-32,12
C.-∞,-12∪32,+∞
D.-12,32〚导学号74920416〛
答案A
解析由题意可知方程f(x)=0的两个解是x1=-1,x2=3,且a<0.由f(-2x)<0得-2x>3或-2x<-1,解得x<-32或x>12.
14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,-35∪(1,+∞) B.-35,1
C.-35,1 D.-35,1〚导学号74920417〛
答案D
解析当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;
当a≠±1时,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,
可知a2-1<0,(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-350)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A.52 B.72 C.154 D.152〚导学号74920418〛
答案A
解析(方法一)∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
由根与系数的关系知x1+x2=2a,x1x2=-8a2.
∴x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4(-8a2)=15.
又a>0,∴a=52.故选A.
(方法二)由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)·(x-4a)<0.
∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a).
又不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=52.故选A.
16.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 .
答案-235,+∞
解析x2+ax-2>0在[1,5]上有解可转化为a>2x-x在[1,5]上有解.
令f(x)=2x-x,可得f'(x)=-2x2-1.
当x∈[1,5]时,f'(x)<0,即f(x)在[1,5]上是减函数.
所以f(x)在[1,5]上的最小值为f(5)=25-5=-235.
所以a>-235.
17.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是 .〚导学号74920419〛
答案-∞,1-32∪1+32,+∞
解析∵x∈(0,2],∴a2-a≥xx2+1=1x+1x.
要使a2-a≥1x+1x在x∈(0,2]时恒成立,
则a2-a≥1x+1xmax.
由基本不等式得x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即1x+1xmax=12,故a2-a≥12,解得a≤1-32或a≥1+32.
高考预测
18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.-12
C.b<-1或b>2 D.不能确定〚导学号74920420〛
答案C
解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即a2=1,故a=2.又可知f(x)在[-1,1]上为增函数.
故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.
当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
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