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- 2021-06-24 发布
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1.设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.
解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=,
所以f(x)>0的解集为{x|x10,d(a)单调递增;
当10;当10,所以f(x)在(1,2)上单调递增,故f(x)在区间(1,2)内存在唯一零点.
(3)f(x)=x3-bx,f′(x)=x2-b.
①当b≤0时,在[0,1]上f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,所以g(b)=f(1)=-b.
②当b>0时,由f′(x)=0得x=或x=-(舍).
x
0
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
0
极小值
由f(x)=0得x=0或x=.
(ⅰ)当≥1,即b≥时,g(b)=f(0)=0;
(ⅱ)当<1,即00},
f′(x)=-+1(x>0).
根据题意,有f′(1)=-2,即2a2-a-3=0,
解得a=-1或a=.
(2)f′(x)=-+1==(x>0).
(ⅰ)当a>0时,
由f′(x)>0及x>0得x>a;
由f′(x)<0及x>0得00时,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.
(ⅱ)当a<0时,
由f′(x)>0及x>0得x>-2a;
由f′(x)<0及x>0得0
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