高中数学必修1教案第一章 1_1_3 第1课时集合的基本运算 8页

‎1．1.3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 ‎[学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．‎ ‎[知识链接]‎ 下列说法中，不正确的有________：‎ ‎①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；‎ ‎②集合A＝{5,6,8}，集合B＝{5,7,8}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{5,6,7,8}；‎ ‎③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}．‎ 答案　①‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．并集和交集的概念及其表示 类别 概念 自然语言 符号语言 图形语言 并集 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)‎ A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎2.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅‎ A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A 解决学生疑难点　　‎ 要点一　集合并集的简单运算 例1　(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(　　)‎ A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}‎ C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}‎ ‎(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(　　)‎ A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}‎ C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}‎ 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．‎ ‎(2)在数轴上表示两个集合，如图．‎ 规律方法　解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．‎ 跟踪演练1　(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(　　)‎ A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}‎ C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}‎ ‎(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.‎ 答案　(1)C　(2){x|x＜－5，或x＞－3}‎ 解析　(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，‎ ‎∴A∪B＝{1，－2,3}．‎ ‎(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．‎ 则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．‎ 要点二　集合交集的简单运算 例2　(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于(　　)‎ A．{2} B．{4}‎ C．{0,2,4,6,8,16} D．{2,4}‎ ‎(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)‎ A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}‎ C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．‎ ‎(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．‎ 则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．‎ 规律方法　求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．‎ 跟踪演练2　已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B.‎ 解　∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，‎ 把集合A与B表示在数轴上，如图．‎ ‎∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥}‎ ‎＝{x|－1＜x≤0，或≤x≤3}；‎ A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥}＝R.‎ 要点三　已知集合交集、并集求参数 例3　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．‎ 解　由A∩B＝∅，‎ ‎(1)若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.‎ ‎(2)若A≠∅，如下图：‎ ‎∴解得－≤a≤2.‎ 综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}．‎ 规律方法　1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．‎ ‎2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．‎ 跟踪演练3　设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．‎ 解　如下图所示，‎ 由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.‎ ‎1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B 等于(　　)‎ A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}‎ C．{1,2} D．{0}‎ 答案　A 解析　集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.‎ ‎2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　)‎ A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}‎ 答案　A 解析　注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．‎ ‎3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于(　　)‎ A．{1,2} B．{0,1,2}‎ C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}‎ 答案　B 解析　由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．‎ ‎4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)‎ A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 答案　B 解析　∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，‎ ‎∴A∩B＝{x|－＜x＜0，或2＜x＜}，A∪B＝R.故选B.‎ ‎5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．‎ 答案　k≤6‎ 解析　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，‎ 且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6.‎ ‎1.对并集、交集概念的理解 ‎(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．‎ ‎(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.‎ ‎2．集合的交、并运算中的注意事项 ‎(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．‎ ‎(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．‎ 一、基础达标 ‎1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于(　　)‎ A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}‎ C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}‎ 答案　A 解析　结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．‎ ‎2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于(　　)‎ A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}‎ C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}‎ 答案　A 解析　集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.‎ ‎3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于(　　)‎ A．{0} B．{0,2}‎ C．{－2.0} D．{－2,0,2}‎ 答案　D 解析　集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.‎ ‎4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于(　　)‎ A．{x|1≤x＜2} B．{x|1≤x≤2}‎ C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}‎ 答案　A 解析　∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，‎ ‎∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．‎ ‎5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．t＜－3 B．t≤－3‎ C．t＞3 D．t≥3‎ 答案　A 解析　B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.‎ ‎6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，‎ ‎∴a＝2.‎ ‎7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．‎ ‎(1)求A∩B；‎ ‎(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．‎ ‎(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C⇔B⊆C，‎ ‎∴－<2，∴a＞－4.‎ 二、能力提升 ‎8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ 答案　D 解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，‎ 又A∪B＝{0,1,2,4,16}，‎ ‎∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.‎ ‎9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则(　　)‎ A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4‎ C．2＜m＜4 D．2＜m≤4‎ 答案　D 解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，‎ ‎∴即2＜m≤4.‎ ‎10．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.‎ 答案　－1　2‎ 解析　∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A(B∪C)．‎ ‎∴A∩(B∪C)＝A，‎ 由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．‎ ‎∴a＝－1，b＝2.‎ ‎11．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．‎ ‎(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2；‎ ‎(2)由于A∩B≠∅，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4.‎ 三、探究与创新 ‎12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．‎ 解　∵A∪B＝A，∴B⊆A.‎ 若B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3；‎ 若B≠∅时， 解得－1≤a≤2，‎ 综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．‎ ‎13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．‎ ‎(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．‎ 解　(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．‎ 此时2a＋1＞3a－5，‎ 即a＜6.‎ 若A≠∅，如图所示，则 解得6≤a≤7.‎ 综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．‎ ‎(2)因为A⊆(A∩B)，且(A∩B)⊆A，‎ 所以A∩B＝A，即A⊆B.‎ 显然A＝∅满足条件，此时a＜6.‎ 若A≠∅，如图所示，则 或 由解得a∈∅；‎ 由解得a＞.‎ 综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a＜6，或a＞}．‎