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- 2021-06-24 发布
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2009年上海市春季高考数学试卷
一.填空题（本大题满分34分）本大题共有11题，
1. 函数y=log2(x-1)的定义域是________．
2. 计算：(1-i)2=________（i为虚数单位）．
3. 函数y=cosx2的最小正周期T=________．
4. 若集合A={x||x|>1}，集合B={x|00 若f(x0)>3，则x0的取值范围是（ ）
A.x0>8 B.x0<0或x0>8 C.00)的等差数列，点B1的坐标为(d, 0)．
（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；
（3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上，求a与d之间所应满足的关系式．
20. 设函数fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数．
（1）判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；
（2）证明：2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ)；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn(θ)的最大值和最小值．
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参考答案与试题解析
2009年上海市春季高考数学试卷
一.填空题（本大题满分34分）本大题共有11题，
1.(1, +∞)
2.-2i
3.4π
4.{x|11又a2=13，
所以通项为：an=(13)n-1．
（2）S=limn→∞Sn=a11-q=32，
要kS≤Sn恒成立，由于Sn递增
所以只要kS=S1，即k的最大值为23．
18.探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．…
19.（1）证明：由题意可知，A1(8, 4)，A2(18, 6)，A3(32, 8)，
∴ kA1A2=6-418-8=15，kA1A3=8-632-18=17．
∵ kA1A2≠kA1A3，
∴ 顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+12an=2(n+1)2，
顶点An的纵坐标yn=12an=2(n+1)．
∵ 对任意正整数n，点An(xn, yn)的坐标满足方程y2=2x，
∴ 所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是xn=d+12a+12(n-1)2d+(n-1)a，yn=12[a+(n-1)d]
消去n-1，可得xn=2dyn2+d+a(d-a)2d
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为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上，则有d2=2pd+a(d-a)2d=0
解之，得d=4p，a=8p．
∴ a，d所应满足的关系式是：a=2d．
20.解：（1）f1(θ)、f3(θ)在0≤θ≤π4，上均为单调递增的函数．
对于函数f1(θ)=sinθ-cosθ，设 θ1<θ2，θ1、θ2∈[0, π4]，则
f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)，
∵ sinθ1
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