高中数学必修4知识点 5页

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  • 2021-06-24 发布

高中数学必修4知识点

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P v x y A O M T    正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角  的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在 第几象 限,则称 为第几象限角. 第一象限角的集合为 360 360 90 ,k k k      第二象限角的集合为 360 90 360 180 ,k k k       第三象限角的集合为 360 180 360 270 ,k k k       第四象限角的集合为 360 270 360 360 ,k k k       终边在 x 轴上的角的集合为 180 ,kk   终边在 y 轴上的角的集合为 180 90 ,kk    终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk   3、与角 终边相同的角的集合为 360 ,kk      4、已知 是第几象限角,确定  *nn   所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半 轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 n  终边所落 在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ,则角 的弧度数的绝对值是 l r  . 7、弧度制与角度制的换算公式: 2 360  ,1 180  , 1801 57.3  . 8、若扇形的圆心角为  为弧度制 ,半径为 r ,弧长为l ,周长为C ,面积为 S ,则 lr , 2C r l, 211 22S lr r . 9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,xy ,它与原点的距离是  220r r x y   ,则sin y r  ,cos x r  ,  tan 0y xx . 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 11、三角函数线:sin  ,cos   , tan   . 12、同角三角函数的基本关系:  221 sin cos 1  2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin       ;  sin2 tancos    sinsin tan cos ,cos tan       . 13、三角函数的诱导公式:    1 sin 2 sink   ,  cos 2 cosk   ,    tan 2 tankk     .    2 sin sin     ,  cos cos     ,  tan tan   .    3 sin sin   ,  cos cos ,  tan tan   .    4 sin sin   ,  cos cos     ,  tan tan     . 口诀:函数名称不变,符号看象限.  5 sin cos2   ,cos sin2   .  6 sin cos2   ,cos sin2     . 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 14、函数 sinyx 的图象上所有点向左(右)平移  个单位长度,得到函数  sinyx的图象;再 将函数  sinyx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1  倍(纵坐标不变),得到函数  sinyx的图象;再将函数  sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的  倍 (横坐标不变),得到函数  sinyx   的图象. 函数 sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1  倍(纵坐标不变),得到函数 sinyx 的图象;再将函数 sinyx 的图象上所有点向左(右)平移   个单位长度,得到函数  sinyx的图象;再将函数  sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的  倍 (横坐标不变),得到函数  sinyx   的图象. 函数   sin 0, 0yx        的性质: ①振幅:  ;②周期: 2  ;③频率: 1 2f   ;④相位: x ;⑤初相: . 函数  sinyx     ,当 1xx 时,取得最小值为 miny ;当 2xx 时,取得最大值为 maxy ,则  max min 1 2 yy   ,  max min 1 2 yy   ,  2 1 1 22 x x x x    . 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R ,2x x k k     值域  1,1  1,1 R 最值 当 2 2xk k  时, max 1y  ;当 2 2xk  k  时, min 1y  . 当  2x k k  时, max 1y  ;当 2xk  k  时, min 1y  . 既无最大值也无最小值 周期性 2 2  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2 ,222kk  k  上是增函数;在 32 ,222kk  k  上是减函数. 在   2 ,2k k k    上是 增函数;在 2 ,2kk    k  上是减函数. 在 ,22kk  k  上是增函数. 对称性 对称中心  ,0kk  对称轴  2x k k   对称中心  ,02kk  对称轴  x k k  对称中心  ,02 k k 无对称轴 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0 的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 函 数 性 质 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a b a b a b     . ⑷运算性质:①交换律: a b b a   ;②结合律:   a b c a b c     ;③ 00a a a    . ⑸坐标运算:设  11,a x y ,  22,b x y ,则  1 2 1 2,a b x x y y    . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设  11,a x y ,  22,b x y ,则  1 2 1 2,a b x x y y    . 设  、 两点的坐标分别为 11,xy , 22,xy,则  1 2 1 2,x x y y    . 19、向量数乘运算: ⑴实数  与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 a . ① aa ; ②当 0  时, a 的方向与 a 的方向相同;当 0  时, a 的方向与 a 的方向相反;当 0  时, 0a  . ⑵运算律:①    aa   ;② a a a      ;③  a b a b     . ⑶坐标运算:设  ,a x y ,则    ,,a x y x y    . 20、向量共线定理:向量  0aa 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使ba . 设  11,a x y ,  22,b x y ,其中 0b  ,则当且仅当 1 2 2 1 0x y x y时,向量 a 、  0bb 共线. 21、平面向量基本定理:如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只 有一对实数 1 、 2 ,使 1 1 2 2a e e .( 不共线的向量 1e 、 2e 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点  是线段 12 上的一点, 1 、 2 的坐标分别是 11,xy , 22,xy,当 12    时, 点  的坐标是 1 2 1 2,11 x x y y    . 23、平面向量的数量积: b a C   a b C C       ⑴  cos 0, 0,0 180a b a b a b      .零向量与任一向量的数量积为0 . ⑵性质:设 a 和b 都是非零向量,则① 0a b a b    .②当 a 与b 同向时, a b a b ;当 a 与b 反向时, a b a b   ; 22a a a a   或 a a a.③ a b a b . ⑶运算律:① a b b a   ;②     a b a b a b       ;③ a b c a c b c      . ⑷坐标运算:设两个非零向量  11,a x y ,  22,b x y ,则 1 2 1 2a b x x y y   . 若  ,a x y ,则 2 22a x y,或 22a x y. 设  11,a x y ,  22,b x y ,则 1 2 1 2 0a b x x y y    . 设 a 、b 都是非零向量, , , 是 a 与b 的夹角,则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y yab ab x y x y    . 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴  cos cos cos sin sin        ; ⑵  cos cos cos sin sin        ; ⑶  sin sin cos cos sin        ; ⑷  sin sin cos cos sin        ; ⑸   tan tantan 1 tan tan    (   tan tan tan 1 tan tan         ); ⑹   tan tantan 1 tan tan    (   tan tan tan 1 tan tan         ). 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin 2 2sin cos   . ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          ( 2 cos 2 1cos 2   , 2 1 cos 2sin 2   ). ⑶ 2 2tantan 2 1 tan    . 26、  22sin cos sin           , tan   .