高考理科数学复习练习作业66 12页

题组层级快练(六十六)‎ ‎1．(2017·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AB|＝4，∴x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3.‎ ‎∴C点横坐标为，故选C.‎ ‎2．(2014·新课标全国Ⅱ，文)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A. B．6‎ C．12 D．7 答案　C 解析　先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定义求解弦长．‎ ‎∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F(，0)．‎ ‎∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－)，即y＝x－.‎ 联立得x2－x＋＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.‎ 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.‎ ‎3．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为 ‎(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 答案　C 解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴‎ 直线方程为x－y－1＝0.联立得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.‎ ‎4．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为的直线，则点F到直线l的距离等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　A(－1，0)，F(1，0)，直线的方程为y＝(x＋1)，点F到直线y＝(x＋1)的距离d＝＝.‎ ‎5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷条 D．不存在 答案　B 解析　方法一：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，‎ 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k(x－1)，代入抛物线y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.‎ ‎∵A，B两点的横坐标之和等于5，∴＝5，k2＝，k＝±.‎ 即这样的直线有且仅有两条．‎ 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.‎ ‎∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7>2p＝4.即|AB|>通径．‎ ‎∴这样的直线有两条，选B.‎ ‎6．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x＋2)与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为(　　)‎ A．0 B．2‎ C．－4 D．4‎ 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.由kFA＋kFB＝＋＝＋＝＝，将x1x2＝4代入，得kFA＋kFB＝0.‎ ‎7．(2017·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为 ‎(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　D 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.‎ ‎8．(2017·郑州第一次质量预测)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝1　　　　　　　　 B．x＝2‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ 答案　C 解析　由题意可设直线方程为y＝－(x－)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消元得4x2－12px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.‎ ‎9．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案　D 解析　由题意知抛物线C的焦点坐标为(2，0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝4. ①‎ 由⇒ ‎∵·＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.‎ ‎∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，‎ 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0. ④‎ 由①②③④式，解得k＝2.故选D.‎ ‎10．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，若x1x2＝－，则2m的值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 答案　A 解析　由已知得kAB＝－1，且AB的中点C(x0，y0)在直线y＝x＋m上，设直线AB的方程为y＝－x＋n，联立消去y并整理得2x2＋x－n＝0，‎ 依题意得，∴n＝1.又x1＋x2＝－，∴x0＝－，y0＝－x0＋1＝.‎ ‎∵点C(x0，y0)在直线y＝x＋m上，∴＝－＋m，解得m＝，∴2m＝3，故选A.‎ ‎11.(2017·河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝|BF|，且|AF|＝4＋2，则p的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ 答案　B 解析　过B作准线的垂线BB′，则|BB′|＝|BF|，由|BC|＝|BF|，得直线l的倾斜角为45°.设A(x0，y0)，由|AF|＝4＋2，得x0－＝|AF|＝2＋2.∴(2＋2)＋p＝4＋2，∴p＝2.‎ ‎12．(2017·四川成都一中模拟)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB(其中O为坐标原点)，则△AOB与△AOF面积之和的最小值是(　　)‎ A．16 B．8 C．8 D．18‎ 答案　C 解析　设直线AB的方程为x＝ty＋m，‎ 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，‎ 将x＝ty＋m代入y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0，‎ 根据根与系数的关系有y1y2＝－4m.‎ ‎∵OA⊥OB，∴·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，从而(y1×y2)2＋y1y2＝0.‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1y2＝－16，故m＝4.‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1>0，‎ 又F(1，0)，∴S△ABO＋S△AFO＝×4(y1－y2)＋y1＝y1＋≥8，‎ 当且仅当y1＝，即y1＝时，取“＝”，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，故选C.‎ ‎13．(2016·四川，理)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　C 解析　设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，选C.‎ ‎14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12＋y22的最小值是________．‎ 答案　32‎ 解析　设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得 y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.‎ ‎∴y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.‎ 故最小值为32.‎ ‎15．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．‎ 答案　2‎ 解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，p＝2.由＋＝，即＋＝，‎ ‎∴|BF|＝2.‎ ‎16．(2017·辽宁五校协作体期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．‎ 答案　3‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝2px1，y22＝2px2，‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋p＝＝p，即有x1＋x2＝p，‎ 由于直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为y－0＝(x－)，‎ 即y＝x－p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，‎ 则x1x2＝，可得x1＝p，x2＝p，则＝＝3.‎ ‎17．(2017·浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(0，3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|＋|BF|＝6，则点D的坐标为________．‎ 答案　(4，0)‎ 解析　设直线AB的方程为y＝kx＋3，代入抛物线y2＝4x，‎ 整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，由|AF|＋|BF|＝6，得(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝－＋2＝6，解得k＝－2，k＝(舍去)，‎ 所以线段AB的中点为(2，－1)，线段AB的垂直平分线方程为y＋1＝(x－2)，令y＝0，得x＝4.故点D的坐标为(4，0)．‎ ‎18．(2016·课标全国Ⅰ，文)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ 答案　(1)2　(2)没有 解析　(1)由已知得M(0，t)，P(，t)．‎ 又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，‎ 故直线ON的方程为y＝x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H(，2t)．‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MN与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．‎ ‎1．(2017·东北三校)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|‎ 答案　C 解析　抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.‎ ‎2．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(　　)‎ A．(，1) B．(0，0)‎ C．(1，2) D．(1，4)‎ 答案　A 解析　设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝，此时y＝4×()2＝1，即切点为(，1)，故选A.‎ ‎3．(2017·威海一模)过抛物线C：y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PA，PB关于直线x＝x0对称，则log2|y1‎ ‎＋y2|－log2y0的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．－ D．无法确定 答案　A 解析　设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y12＝2px1，y02＝2px0相减得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．同理可得kPB＝(x2≠x0)．若直线PA，PB关于直线x＝x0对称，则PA，PB的倾斜角互补．故kPA＝－kPB，即＝－.所以y1＋y2＝－2y0，故＝－2，故log2|y1＋y2|－log2y0＝1.故选A.‎ ‎4．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　先确定切线的方程，再联立方程组求解．‎ 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2，3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2，0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①.由于Δ＝1－4×·(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为＝.‎ ‎5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|＝20，则|FH|＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 答案　D 解析　设弦MN的中点为G(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y12＝2px1，y22＝2px2，两式相减得y12－y22＝2p(x1－x2)，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以(y1－y2)·2y0＝2p(x1－x2)，所以＝，所以弦MN所在直线的斜率kMN＝＝，MN 的中垂线所在直线的方程为y－y0＝－(x－x0)，令y＝0得xH＝x0＋p，所以|FH|＝x0＋p－＝x0＋＝＋＝＝|MN|＝×20＝10.故选D.‎ ‎6.(2017·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)‎ A. B. C. D．2 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4k＝0. ①‎ 因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*)‎ y1，y2是方程①的两个根，所以有 又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2. ④‎ 解由②③④组成的方程组，得k＝.‎ 把k＝代入(*)式检验，不等式成立．所以k＝，故选C.‎ ‎7．(2017·北京东城期末)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，‎ 点O是原点，如果|BF|＝3，|BF|>|AF|，∠BFO＝，那么|AF|的值为(　　)‎ A．1 B. C．3 D．6‎ 答案　A 解析　由已知直线的斜率为k＝，则方程为y＝(x－)，联立方程得3x2－5px＋＝0，即(2x－3p)(6x－p)＝0.‎ 因为|BF|>|AF|，所以xB＝p，xA＝，依题意xB＋＝2p＝3，所以p＝，则|AF|＝xA＋＝p＝1.故选A.‎ ‎8．(2017·广东实验中学月考)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点且斜率为2的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 答案　C 解析　取AB的中点N，分别过A，B，N作准线的垂线AP，BQ，MN，垂足分别为P，Q，M，如图所示．‎ 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，‎ 在直角梯形APQB中，|MN|＝(|AP|＋|BQ|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，‎ 即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，‎ 由M的纵坐标为2，可得N的纵坐标为2，‎ 抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)．‎ 设直线AB的方程为y＝2(x－)，即x＝y＋，‎ 与抛物线方程y2＝2px联立，消去x，得y2－py－p2＝0.‎ 由根与系数的关系可得AB的中点N的纵坐标为，即有p＝4.故选C.‎ ‎9．(2017·杭州中学模拟)已知M(a，2)是抛物线y2＝2x上的一点，直线MP，MQ分别与抛物线交于P，Q两点，且直线MP，MQ的倾斜角之和为π，则直线PQ的斜率为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　易知M(2，2)，设P(，y1)，Q(，y2)，由直线MP，MQ的倾斜角之和为π，知直线MP，MQ斜率互为相反数，即kMP＋kMQ＝0，即＋＝0，‎ 化简得＋＝0，即＝0，∴y1＋y2＝－4.‎ ‎∴kPQ＝＝＝－＝－.故选C.‎ ‎10．(2016·浙江，文)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．‎ 解析　(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.‎ ‎(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由消去x得y2－4sy－4＝0，故y1y2＝－4，所以B(，－)．‎ 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－.‎ 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N(，－)．‎ 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，‎ 于是m＝＝2＋.‎ 所以m<0或m>2.‎ 经检验，m<0或m>2满足题意．‎ 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎11.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．‎ ‎(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；‎ ‎(2)求S△ABM的最大值．‎ 答案　(1)y2＝4x　(2)p2‎ 解析　(1)由条件知lAB：y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.‎ 又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝.‎ 因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<0，‎ 则d＝＝＝＝.‎ 当y0＝p时，dmax＝p.‎ 故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.‎ 方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋，两直线间的距离为d＝＝p，故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.‎