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- 2021-06-24 发布
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[练案47]第六讲 空间向量及其运算
A组基础巩固
一、单选题
1.(2019·枣阳市第一中学月考)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( C )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
[解析] 因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以α,β不平行,也不垂直.故选C.
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则下列式子中与相等的是( C )
A.-a+b+c
B.a+b-c
C.-a+b-c
D.-a-b+c
[解析] =+=-c+=-c+(b-a)=-a+b-c.故选C.
3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于( B )
A. B.-2
C.0 D.或-2
[解析] a∥b⇒a=λb⇒(2m+1,3,m-1)=(2λ,mλ,-mλ)⇒⇒m=-2.故选B.
4.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为( C )
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(0,0,-3)
- 9 -
[解析] 设P点坐标为(0,0,a),则由题意知1+4+(1-a)2=4+4+(2-a)2,解得a=3,∴P点坐标为(0,0,3),故选C.
5.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( D )
A.-2 B.-
C. D.2
[解析] a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),由a⊥(a-λb)知a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0,∴λ=2,故选D.
6.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为( C )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[解析] 由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),
所以cos,===.
所以向量与的夹角为60°.故选C.
7.(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[解析] ·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.故选C.
8.(2019·河北模拟)如图所示,已知空间四边形OABC中,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos,的值为( A )
- 9 -
A.0 B.
C. D.
[解析] 设=a,=b,=c,由已知条件a,b=a,c=,且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,所以cos,=0,故选A.
二、多选题
9.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,不在平面α内的是( ACD )
A.(1,-1,1) B.(1,3,)
C.(1,-3,) D.(-1,3,-)
[解析] 对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0;对于选项B,=(1,-4,),则·n=(1,-4,)·(3,1,2)=0,验证可知C、D均不满足·n=0.故选A、C、D.
10.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( AB )
A.(++)2=2()2
B.·(-)=0
C.向量与的夹角是60°
D.BD1与AC所成角的余弦值为
[解析] 平行六面体的棱长均为a,则由题意知(++)2=()2+()2+()2+2·+2·+2·=6a2,
2()2=2(+)2=2(()2+2·+()2)=6a2,
- 9 -
∴(++)2=2()2,A正确;
∵·(-)=(++)·(-)=·-·+()2-()2=0,B正确;
∵=-,
cos〈,〉==-,
∴与的夹角是120°,C错;
∵=+-,=+,
记BD1与AC所成角为θ,
则cosθ===,D错;故选AB.
11.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( AC )
A.2, B.-,
C.-3, D.2,2
[解析] ∵a∥b,∴b=ka,
即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),
∴解得或故选A、C.
12.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个结论中正确的是( ACD )
A.点P到平面QEF的距离为定值
B.直线PQ与平面PEF所成的角为定值
C.二面角P-EF-Q的大小为定值
- 9 -
D.三棱锥P-QEF的体积为定值
[解析] 点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB1A1的距离为定值,故A正确;又S△EFQ为定值,∴VP-QEF为定值,故D正确;又二面角P-EF-Q即为二面角P-DC-B1为定值,故C正确;PQ与平面PEF所成角,即PQ与平面PDC所成角,∵A1B1∥平面PDC,∴Q到平面PDC的距离为定值,而PQ不是定值,∴PQ与平面PEF所成角的正弦值不是定值,故B错.
三、填空题
13.(2019·竹溪县第二高级中学月考)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于 -a+b+c .(用a,b,c表示)
[解析] 因为=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.
14.已知三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,Q点的坐标为 (,,) .
[解析] 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得=λ,则有Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质可得当λ=时,取得最小值,此时Q(,,).
四、解答题
15.(2019·太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模;
- 9 -
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
[解析] 如图,建立空间直角坐标系.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以||=
=.
(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
所以=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,
||=,||=,
所以cos〈,〉==.
(3)证明:依题意,得C1(0,0,2),M(,,2),=(-1,1,-2),=(,,0).
所以·=-++0=0,
所以⊥.所以A1B⊥C1M.
B组能力提升
1.(2018·课标Ⅱ,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A. B.
C. D.
[解析]
- 9 -
以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0,),D1(0,1,0),D(0,1,),B1(1,0,0),所以=(0,1,-),=(1,-1,-),所以cos,===,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cos,|=,故选C.
2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 以BC的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=2,则B(-1,0,0),则C1(1,0,2),故=(2,0,2).又B1(-1,0,2),A(0,,0),=(-1,-,2),则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为cosθ===,故选C.
3.(2019·广东汕头模拟)如图,三棱锥D-ABC中,AB=AC=DB=DC=1,BC=,平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,则异面直线CM与BN所成角的余弦值为( A )
- 9 -
A. B.
C. D.0
[解析] 取BC的中点O,连接DO,AO,
∵BD=DC,∴DO⊥BC,
又平面DBC⊥平面ABC,
∴DO⊥平面ABC,从而DO⊥OA,又AB=AC,
∴AO⊥BC,如图建立空间直角坐标系,
则=(-,,),=(,0,),
则cos,===-,
∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为.选A.
4.(2019·江苏启东中学期中)已知向量a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),若向量a,b,c共面,则λ=__3__.
[解析] 由题意可知c=ma+nb,(m,n∈R)
∴解得.
5.(2019·北京西城区模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是__[0,1]__.
[解析] 由题意:设=λ,其中λ∈[0,1],
·=·(+)
- 9 -
=·(+λ)=2+λ·
=2+λ·(-)
=(1-λ)2=1-λ∈[0,1].
因此·的取值范围是[0,1].
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