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  • 2021-06-24 发布

高考数学一轮复习练案47第七章立体几何第六讲空间向量及其运算含解析

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‎ [练案47]第六讲 空间向量及其运算 A组基础巩固 一、单选题 ‎1.(2019·枣阳市第一中学月考)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( C )‎ A.α∥β   B.α⊥β C.α,β相交但不垂直   D.以上均不对 ‎[解析] 因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以α,β不平行,也不垂直.故选C.‎ ‎2.平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则下列式子中与相等的是( C )‎ A.-a+b+c B.a+b-c C.-a+b-c D.-a-b+c ‎[解析] =+=-c+=-c+(b-a)=-a+b-c.故选C.‎ ‎3.已知向量a=(‎2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于( B )‎ A.  B.-2 ‎ C.0  D.或-2‎ ‎[解析] a∥b⇒a=λb⇒(‎2m+1,3,m-1)=(2λ,mλ,-mλ)⇒⇒m=-2.故选B.‎ ‎4.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为( C )‎ A.(3,0,0)   B.(0,3,0)‎ C.(0,0,3)   D.(0,0,-3)‎ - 9 -‎ ‎[解析] 设P点坐标为(0,0,a),则由题意知1+4+(1-a)2=4+4+(2-a)2,解得a=3,∴P点坐标为(0,0,3),故选C.‎ ‎5.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( D )‎ A.-2  B.- ‎ C.  D.2‎ ‎[解析] a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),由a⊥(a-λb)知a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0,∴λ=2,故选D.‎ ‎6.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为( C )‎ A.30°  B.45° ‎ C.60°  D.90°‎ ‎[解析] 由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),‎ 所以cos,===.‎ 所以向量与的夹角为60°.故选C.‎ ‎7.(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )‎ A.a2  B.a2 ‎ C.a2  D.a2‎ ‎[解析] ·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.故选C.‎ ‎8.(2019·河北模拟)如图所示,已知空间四边形OABC中,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos,的值为( A )‎ - 9 -‎ A.0  B. C.  D. ‎[解析] 设=a,=b,=c,由已知条件a,b=a,c=,且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,所以cos,=0,故选A.‎ 二、多选题 ‎9.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,不在平面α内的是( ACD )‎ A.(1,-1,1)   B.(1,3,)‎ C.(1,-3,)   D.(-1,3,-)‎ ‎[解析] 对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0;对于选项B,=(1,-4,),则·n=(1,-4,)·(3,1,2)=0,验证可知C、D均不满足·n=0.故选A、C、D.‎ ‎10.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( AB )‎ A.(++)2=2()2‎ B.·(-)=0‎ C.向量与的夹角是60°‎ D.BD1与AC所成角的余弦值为 ‎[解析] 平行六面体的棱长均为a,则由题意知(++)2=()2+()2+()2+2·+2·+2·=‎6a2,‎ ‎2()2=2(+)2=2(()2+2·+()2)=‎6a2,‎ - 9 -‎ ‎∴(++)2=2()2,A正确;‎ ‎∵·(-)=(++)·(-)=·-·+()2-()2=0,B正确;‎ ‎∵=-,‎ cos〈,〉==-,‎ ‎∴与的夹角是120°,C错;‎ ‎∵=+-,=+,‎ 记BD1与AC所成角为θ,‎ 则cosθ===,D错;故选AB.‎ ‎11.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( AC )‎ A.2,  B.-, ‎ C.-3,  D.2,2‎ ‎[解析] ∵a∥b,∴b=ka,‎ 即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),‎ ‎∴解得或故选A、C.‎ ‎12.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个结论中正确的是( ACD )‎ A.点P到平面QEF的距离为定值 B.直线PQ与平面PEF所成的角为定值 C.二面角P-EF-Q的大小为定值 - 9 -‎ D.三棱锥P-QEF的体积为定值 ‎[解析] 点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB‎1A1的距离为定值,故A正确;又S△EFQ为定值,∴VP-QEF为定值,故D正确;又二面角P-EF-Q即为二面角P-DC-B1为定值,故C正确;PQ与平面PEF所成角,即PQ与平面PDC所成角,∵A1B1∥平面PDC,∴Q到平面PDC的距离为定值,而PQ不是定值,∴PQ与平面PEF所成角的正弦值不是定值,故B错.‎ 三、填空题 ‎13.(2019·竹溪县第二高级中学月考)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于 -a+b+c .(用a,b,c表示)‎ ‎[解析] 因为=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.‎ ‎14.已知三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,Q点的坐标为 (,,) .‎ ‎[解析] 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得=λ,则有Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质可得当λ=时,取得最小值,此时Q(,,).‎ 四、解答题 ‎15.(2019·太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A‎1A的中点.‎ ‎(1)求的模;‎ - 9 -‎ ‎(2)求cos〈,〉的值;‎ ‎(3)求证:A1B⊥C‎1M.‎ ‎[解析] 如图,建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以||=‎ ‎=.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).‎ 所以=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,‎ ‎||=,||=,‎ 所以cos〈,〉==.‎ ‎(3)证明:依题意,得C1(0,0,2),M(,,2),=(-1,1,-2),=(,,0).‎ 所以·=-++0=0,‎ 所以⊥.所以A1B⊥C‎1M.‎ B组能力提升 ‎1.(2018·课标Ⅱ,9)在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] ‎ - 9 -‎ 以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0,),D1(0,1,0),D(0,1,),B1(1,0,0),所以=(0,1,-),=(1,-1,-),所以cos,===,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cos,|=,故选C.‎ ‎2.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,底面边长和侧棱长都相等,则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为( C )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 以BC的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=2,则B(-1,0,0),则C1(1,0,2),故=(2,0,2).又B1(-1,0,2),A(0,,0),=(-1,-,2),则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为cosθ===,故选C.‎ ‎3.(2019·广东汕头模拟)如图,三棱锥D-ABC中,AB=AC=DB=DC=1,BC=,平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,则异面直线CM与BN所成角的余弦值为( A )‎ - 9 -‎ A.  B. ‎ C.  D.0‎ ‎[解析] 取BC的中点O,连接DO,AO,‎ ‎∵BD=DC,∴DO⊥BC,‎ 又平面DBC⊥平面ABC,‎ ‎∴DO⊥平面ABC,从而DO⊥OA,又AB=AC,‎ ‎∴AO⊥BC,如图建立空间直角坐标系,‎ 则=(-,,),=(,0,),‎ 则cos,===-,‎ ‎∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为.选A.‎ ‎4.(2019·江苏启东中学期中)已知向量a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),若向量a,b,c共面,则λ=__3__.‎ ‎[解析] 由题意可知c=ma+nb,(m,n∈R)‎ ‎∴解得.‎ ‎5.(2019·北京西城区模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是__[0,1]__.‎ ‎[解析] 由题意:设=λ,其中λ∈[0,1],‎ ·=·(+)‎ - 9 -‎ ‎=·(+λ)=2+λ· ‎=2+λ·(-)‎ ‎=(1-λ)2=1-λ∈[0,1].‎ 因此·的取值范围是[0,1].‎ - 9 -‎