高科数学专题复习课件：高考专题突破四　高考中的立体几何问题 90页

高考专题突破 四 高考 中的立体几何问题 考点自测 　 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1. 正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， D 为 BC 中点， E 为 A 1 C 1 中点，则 DE 与平面 A 1 B 1 BA 的位置关系 为 A. 相交 B . 平行 C. 垂直相交 D . 不确定 答案 解析 如图取 B 1 C 1 中点为 F ，连接 EF ， DF ， DE ， 则 EF ∥ A 1 B 1 ， DF ∥ B 1 B ， ∴ 平面 EFD ∥ 平面 A 1 B 1 BA ， ∴ DE ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 2. 设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： ① x 、 y 、 z 均为直线； ② x 、 y 是直线， z 是平面； ③ z 是直线， x 、 y 是平面； ④ x 、 y 、 z 均为平面 . 其中使 “ x ⊥ z 且 y ⊥ z ⇒ x ∥ y ” 为真命题 的是 A. ③④ B. ①③ C . ②③ D . ①② 由正方体模型可知 ①④ 为假命题；由线面垂直的性质定理可知 ②③ 为真命题 . 答案 解析 3.(2016· 成都模拟 ) 如图是一个几何体的三视图 ( 侧视图中的弧线是半圆 ) ，则该几何体的表面积 是 A.20 ＋ 3π B.24 ＋ 3π C.20 ＋ 4π D.24 ＋ 4π 答案 解析 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为 2 ，半圆柱的底面半径为 1 ，母线长为 2 ，故该几何体的表面积为 4 × 5 ＋ 2 × π ＋ 2 × π ＝ 20 ＋ 3π. 4.( 2017· 沈阳 调研 ) 设 α ， β ， γ 是三个平面， a ， b 是两条不同直线，有下列三个条件： ① a ∥ γ ， b ⊂ β ； ② a ∥ γ ， b ∥ β ； ③ b ∥ β ， a ⊂ γ . 如果命题 “ α ∩ β ＝ a ， b ⊂ γ ，且 ________ ，则 a ∥ b ” 为真命题，则可以在横线处填入的条件是 ________.( 把所有正确的序号填上 ) 答案 解析 ① 或 ③ 由线面平行的性质定理可知， ① 正确 ； 当 b ∥ β ， a ⊂ γ 时， a 和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行， ③ 正确 . 故 应填入的条件为 ① 或 ③ . 5. 如图，在三棱锥 P － ABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点 . 若 PA ⊥ AC ， PA ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， DF ＝ 5. 则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是 ________ ；平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是 ________.( 填 “ 平行 ” 或 “ 垂直 ” ) 答案 解析 平行 垂直 ① 因为 D ， E 分别为棱 PC ， AC 的中点，所以 DE ∥ PA . 又因为 PA ⊄ 平面 DEF ， DE ⊂ 平面 DEF ，所以直线 PA ∥ 平面 DEF . ② 因为 D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点， PA ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 所以 DE ∥ PA ， DE ＝ PA ＝ 3 ， EF ＝ BC ＝ 4. 又因为 DF ＝ 5 ，故 DF 2 ＝ DE 2 ＋ EF 2 ， 所以 ∠ DEF ＝ 90° ，即 DE ⊥ EF . 又 PA ⊥ AC ， DE ∥ PA ，所以 DE ⊥ AC . 因为 AC ∩ EF ＝ E ， AC ⊂ 平面 ABC ， EF ⊂ 平面 ABC ， 所以 DE ⊥ 平面 ABC ，又 DE ⊂ 平面 BDE ， 所以平面 BDE ⊥ 平面 ABC . 题型分类　深度剖析 例 1 　 (2016· 全国甲卷 ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AE ＝ CF ， EF 交 BD 于点 H ，将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ′ EF 的位置 . (1) 证明： AC ⊥ HD ′ ； 题型一　求空间几何体的表面积与体积 证明 由已知得 AC ⊥ BD ， AD ＝ CD ， 故 AC ∥ EF ，由此得 EF ⊥ HD ，折后 EF 与 HD 保持 垂直关系，即 EF ⊥ HD ′ ， 所以 AC ⊥ HD ′ . 解答 所以 OH ＝ 1 ， D ′ H ＝ DH ＝ 3 ， 故 OD ′⊥ OH . 由 (1) 知 AC ⊥ HD ′ ，又 AC ⊥ BD ， BD ∩ HD ′ ＝ H ， 所以 AC ⊥ 平面 DHD ′ ，于是 AC ⊥ OD ′ ， 又由 OD ′⊥ OH ， AC ∩ OH ＝ O ，所以 OD ′⊥ 平面 ABC . (1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解 . 其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积 . (2) 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 思维升华 跟踪训练 1 　 正三棱锥的高为 1 ，底面边长为 2 ， 内有一个球与它的四个面都相切 ( 如图 ). 求： (1) 这个正三棱锥的表面积； 解答 (2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 . 解答 设正三棱锥 P － ABC 的内切球球心为 O ，连接 OP ， OA ， OB ， OC ，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r . ∴ V P － ABC ＝ V O － PAB ＋ V O － PBC ＋ V O － PAC ＋ V O － ABC 题型二　空间点、线、面的位置关系 例 2 　 (2016· 济南模拟 ) 如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 ＝ AC ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， E ， F 分别是 A 1 C 1 ， BC 的中点 . (1) 求证：平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ； 证明 在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， BB 1 ⊥ 底面 ABC . 因为 AB ⊂ 平面 ABC ， 所以 BB 1 ⊥ AB . 又因为 AB ⊥ BC ， BC ∩ BB 1 ＝ B ， 所以 AB ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 又 AB ⊂ 平面 ABE ， 所以平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 证明 (2) 求证： C 1 F ∥ 平面 ABE ； 方法一 　如图 1 ，取 AB 中点 G ，连接 EG ， FG . 因为 E ， F 分别是 A 1 C 1 ， BC 的中点， 所以 FG ∥ AC ，且 FG ＝ AC . 因为 AC ∥ A 1 C 1 ，且 AC ＝ A 1 C 1 ， 所以 FG ∥ EC 1 ，且 FG ＝ EC 1 ， 所以四边形 FGEC 1 为平行四边形 ， 所以 C 1 F ∥ EG . 又因为 EG ⊂ 平面 ABE ， C 1 F ⊄ 平面 ABE ， 所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . 方法二 　如图 2 ，取 AC 的中点 H ，连接 C 1 H ， FH . 因为 H ， F 分别是 AC ， BC 的中点，所以 HF ∥ AB ， 又因为 E ， H 分别是 A 1 C 1 ， AC 的中点， 所以 EC 1 綊 AH ， 所以四边形 EAHC 1 为平行四边形， 所以 C 1 H ∥ AE ， 又 C 1 H ∩ HF ＝ H ， AE ∩ AB ＝ A ， 所以平面 ABE ∥ 平面 C 1 HF ， 又 C 1 F ⊂ 平面 C 1 HF ， 所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . 解答 (3) 求三棱锥 E － ABC 的体积 . 因为 AA 1 ＝ AC ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， AB ⊥ BC ， 所以三棱锥 E － ABC 的体积 (1) ① 证明面面垂直，将 “ 面面垂直 ” 问题转化为 “ 线面垂直 ” 问题，再将 “ 线面垂直 ” 问题转化为 “ 线线垂直 ” 问题 . ② 证明 C 1 F ∥ 平面 ABE ： ( ⅰ ) 利用判定定理，关键是在平面 ABE 中找 ( 作 ) 出直线 EG ，且满足 C 1 F ∥ EG .( ⅱ ) 利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面 C 1 HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化 . ( 2) 计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 如图，在三棱锥 S － ABC 中，平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， AB ⊥ BC ， AS ＝ AB . 过 A 作 AF ⊥ SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证： (1) 平面 EFG ∥ 平面 ABC ； 证明 由 AS ＝ AB ， AF ⊥ SB 知 F 为 SB 中点， 则 EF ∥ AB ， FG ∥ BC ，又 EF ∩ FG ＝ F ， AB ∩ BC ＝ B ， 因此平面 EFG ∥ 平面 ABC . (2) BC ⊥ SA . 证明 由平面 SAB ⊥ 平面 SBC ，平面 SAB ∩ 平面 SBC ＝ SB ， AF ⊂ 平面 SAB ， AF ⊥ SB ， 所以 AF ⊥ 平面 SBC ，则 AF ⊥ BC . 又 BC ⊥ AB ， AF ∩ AB ＝ A ，则 BC ⊥ 平面 SAB ， 又 SA ⊂ 平面 SAB ，因此 BC ⊥ SA . 题型三　平面图形的翻折问题 例 3 　 (2015· 陕西 ) 如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ BAD ＝ ， AB ＝ BC ＝ 1 ， AD ＝ 2 ， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点 . 将 △ ABE 沿 BE 折起到 △ A 1 BE 的位置，如图 2. (1) 证明： CD ⊥ 平面 A 1 OC ； 证明 几何画板展示 在题图 1 中，连接 EC ， 因为 AB ＝ BC ＝ 1 ， AD ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ ， AD ∥ BC ， E 为 AD 中点， 所以 BC 綊 ED ， BC 綊 AE ， 所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CD ∥ BE ， 所以四边形 ABCE 为正方形，所以 BE ⊥ AC ， 即在题图 2 中， BE ⊥ OA 1 ， BE ⊥ OC ，且 A 1 O ∩ OC ＝ O ， 从而 BE ⊥ 平面 A 1 OC ，又 CD ∥ BE ， 所以 CD ⊥ 平面 A 1 OC . (2) 若平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE ，求平面 A 1 BC 与平面 A 1 CD 夹角的余弦值 . 解答 由已知，平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE ， 又由 (1) 知， BE ⊥ OA 1 ， BE ⊥ OC ， 所以 ∠ A 1 OC 为二面角 A 1 -BE - C 的平面角， 如图，以 O 为原点，以 OB ， OC ， OA 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 ， 因为 A 1 B ＝ A 1 E ＝ BC ＝ ED ＝ 1 ， BC ∥ ED ， 设平面 A 1 BC 的法向量 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，平面 A 1 CD 的法向量 n 2 ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，平面 A 1 BC 与平面 A 1 CD 夹角为 θ ， 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 . 一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 ( 2017· 深圳 月考 ) 如图 (1) ，四边形 ABCD 为矩形， PD ⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ 1 ， BC ＝ PC ＝ 2 ，作如图 (2) 折叠，折痕 EF ∥ DC . 其中点 E ， F 分别在线段 PD ， PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ，并且 MF ⊥ CF . (1) 证明： CF ⊥ 平面 MDF ； 证明 几何画板展示 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AD . 又因为 ABCD 是矩形， CD ⊥ AD ， PD 与 CD 交于点 D ， 所以 AD ⊥ 平面 PCD . 又 CF ⊂ 平面 PCD ， 所以 AD ⊥ CF ，即 MD ⊥ CF . 又 MF ⊥ CF ， MD ∩ MF ＝ M ，所以 CF ⊥ 平面 MDF . 解答 (2) 求三棱锥 M － CDE 的体积 . 因为 PD ⊥ DC ， PC ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∠ PCD ＝ 60° ， 如图，过点 F 作 FG ⊥ CD 交 CD 于点 G ， 题型四　立体几何中的存在性问题 例 4 　 (2016· 邯郸第一中学研究性考试 ) 在直棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ＝ AB ＝ AC ＝ 1 ， E ， F 分别是 CC 1 ， BC 的中点， AE ⊥ A 1 B 1 ， D 为棱 A 1 B 1 上的点 . (1) 证明： DF ⊥ AE . 证明 ∵ AE ⊥ A 1 B 1 ， A 1 B 1 ∥ AB ， ∴ AE ⊥ AB . 又 ∵ AA 1 ⊥ AB ， AA 1 ∩ AE ＝ A ， ∴ AB ⊥ 平面 A 1 ACC 1 . 又 ∵ AC ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ， ∴ AB ⊥ AC . 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 即 ( x ， y ， z － 1) ＝ λ (1,0,0) ，则 D ( λ ， 0,1) ， (2) 是否存在一点 D ，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 为 ？ 若 存在，说明点 D 的位置；若不存在，说明理由 . 解答 结论：存在一点 D ，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 为 . 理由如下： 由题意知平面 ABC 的法向量为 m ＝ (0,0,1). 设平面 DEF 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 令 z ＝ 2(1 － λ ) ，则 n ＝ (3,1 ＋ 2 λ ， 2(1 － λ )). ∴ 存在满足条件的点 D ，此时 D 为 A 1 B 1 的中点 . (1) 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后 在 该 假设 条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设 . (2) 对于探索性问题用向量法比较容易入手 . 一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在 . 思维 升华 跟踪训练 4 　 如图，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱 A 1 A ⊥ 底面 ABCD ， AB ∥ DC ， AB ⊥ AD ， AD ＝ CD ＝ 1 ， AA 1 ＝ AB ＝ 2 ， E 为棱 AA 1 的中点 . (1) 证明： B 1 C 1 ⊥ CE ； 证明 如图，以点 A 为原点，分别以 AD ， AA 1 ， AB 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，依题意得 A (0,0,0) ， B (0,0,2) ， C (1,0,1) ， B 1 (0,2,2) ， C 1 (1,2,1) ， E (0,1,0). 解答 (2) 求二面角 B 1 － CE － C 1 的正弦值； 消去 x ，得 y ＋ 2 z ＝ 0 ，不妨令 z ＝ 1 ，可得一个法向量为 m ＝ ( － 3 ，－ 2,1). 由 (1) 知， B 1 C 1 ⊥ CE ，又 CC 1 ⊥ B 1 C 1 ， CC 1 ∩ CE ＝ C ，可得 B 1 C 1 ⊥ 平面 CEC 1 ， 设平面 B 1 CE 的法向量 m ＝ ( x ， y ， z ) ， (3) 设点 M 在线段 C 1 E 上，且直线 AM 与平面 ADD 1 A 1 所成角的正弦值 为 ， 求线段 AM 的长 . 解答 设 θ 为直线 AM 与平面 ADD 1 A 1 所成的角，则 课时作业 1.(2016· 北京顺义区一模 ) 如图所示，已知平面 α ∩ 平面 β ＝ l ， α ⊥ β . A ， B 是直线 l 上的两点， C ， D 是平面 β 内的两点，且 AD ⊥ l ， CB ⊥ l ， DA ＝ 4 ， AB ＝ 6 ， CB ＝ 8. P 是平面 α 上的一动点，且有 ∠ APD ＝ ∠ BPC ，则四棱锥 P － ABCD 体积的最大值 是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意知， △ PAD ， △ PBC 是直角三角形， 又 ∠ APD ＝ ∠ BPC ，所以 △ PAD ∽△ PBC . 因为 DA ＝ 4 ， CB ＝ 8 ，所以 PB ＝ 2 PA . 作 PM ⊥ AB 于点 M ，由题意知， PM ⊥ β . 令 AM ＝ t (0< t <6) ，则 PA 2 － t 2 ＝ 4 PA 2 － (6 － t ) 2 ， 所以 PA 2 ＝ 12 － 4 t . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(2016· 江西赣中南五校第一次联考 ) 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确 的是 A. 若 α ⊥ γ ， α ⊥ β ，则 γ ∥ β B . 若 m ∥ n ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则 α ∥ β C. 若 m ∥ n ， m ⊥ α ， n ⊥ β ，则 α ∥ β D . 若 m ∥ n ， m ∥ α ，则 n ∥ α 答案 解析 √ 对于 A ，若 α ⊥ γ ， α ⊥ β ，则 γ ∥ β 或相交 ； 对于 B ，若 m ∥ n ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则 α ∥ β 或相交 ； 对于 D ，若 m ∥ n ， m ∥ α ，则 n ∥ α 或 n ⊂ α . 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.(2016· 华中师大附中质检 ) 已知三棱锥 D － ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB ＝ AC ＝ ， BC ＝ 2 ，则二面角 D － BC － A 的大小为 ________. 答案 解析 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，取 BC 的中点 E ，连接 AE ， DE ， ∵ AB ＝ AC ， ∴ AE ⊥ BC . 又三棱锥 D － ABC 的三个侧面与底面全等， ∴ BD ＝ CD ， ∴ DE ⊥ BC ， 则 ∠ AED 是二面角 D － BC － A 的平面角 . 由 AE 2 ＋ DE 2 ＝ AD 2 ，知 ∠ AED ＝ 90°. 故二面角 D － BC － A 的大小为 90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ ABC ＝ 90° ， AD ∶ BC ∶ AB ＝ 2 ∶ 3 ∶ 4 ， E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论： ① DF ⊥ BC ； ② BD ⊥ FC ； ③ 平面 DBF ⊥ 平面 BFC ； ④ 平面 DCF ⊥ 平面 BFC . 在翻折过程中，可能成立的结论是 ______.( 填写结论序号 ) ②③ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为 BC ∥ AD ， AD 与 DF 相交不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则 ① 错误；设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P ，当 BP ⊥ CF 时就有 BD ⊥ FC ，而 AD ∶ BC ∶ AB ＝ 2 ∶ 3 ∶ 4 ，可使条件满足，所以 ② 正确 ； 当 点 P 落在 BF 上时， DP ⊂ 平面 BDF ，从而平面 BDF ⊥ 平 面 BCF ，所以 ③ 正确 ； 因为 点 D 的投影不可能在 FC 上，所以平面 DCF ⊥ 平面 BFC 不成立，即 ④ 错误 . 故答案为 ②③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点， 当 ＝ ______ 时， D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F . 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，连接 A 1 B ，则 A 1 B 是 D 1 E 在平面 ABB 1 A 1 内的射影 . ∵ AB 1 ⊥ A 1 B ， ∴ D 1 E ⊥ AB 1 ， 又 ∵ D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F ⇒ D 1 E ⊥ AF . 连接 DE ，则 DE 是 D 1 E 在底面 ABCD 内的射影， ∴ D 1 E ⊥ AF ⇒ DE ⊥ AF . ∵ ABCD 是正方形， E 是 BC 的中点， ∴ 当且仅当 F 是 CD 的中点时， DE ⊥ AF ， 即当点 F 是 CD 的中点时， D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， ∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ＝ 2 ， A 1 A ＝ 4 ， A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 是 B 1 C 1 的中点 . (1) 证明： A 1 D ⊥ 平面 A 1 BC ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 E 为 BC 的中点， 由题意得 A 1 E ⊥ 平面 ABC ， 因为 AE ⊂ 平面 ABC ，所以 A 1 E ⊥ AE . 因为 AB ＝ AC ，所以 AE ⊥ BC . 又 A 1 E ∩ BC ＝ E ，故 AE ⊥ 平面 A 1 BC . 由 D ， E 分别为 B 1 C 1 ， BC 的中点，得 DE ∥ B 1 B 且 DE ＝ B 1 B ，从而 DE ∥ A 1 A 且 DE ＝ A 1 A ， 所以四边形 A 1 AED 为平行四边形 . 故 A 1 D ∥ AE . 又因为 AE ⊥ 平面 A 1 BC ，所以 A 1 D ⊥ 平面 A 1 BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 (2) 求二面角 A 1 - BD-B 1 的平面角的余弦值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法一 　如图所示，作 A 1 F ⊥ BD 且 A 1 F ∩ BD ＝ F ，连接 B 1 F . 由 AE ＝ EB ＝ ， ∠ A 1 EA ＝ ∠ A 1 EB ＝ 90° ，得 A 1 B ＝ A 1 A ＝ 4. 由 A 1 D ＝ B 1 D ， A 1 B ＝ B 1 B ，得 △ A 1 DB 与 △ B 1 DB 全等 . 由 A 1 F ⊥ BD ，得 B 1 F ⊥ BD ， 因此 ∠ A 1 FB 1 为二面角 A 1 -BD-B 1 的平面角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二 　以 CB 的中点 E 为原点，分别以射线 EA ， EB 为 x ， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz ，如图所示 . 由题意知各点坐标如下： 设平面 A 1 BD 的法向量为 m ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 平面 B 1 BD 的法向量为 n ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.(2016· 山东牟平一中期末 ) 如图，在四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AC ⊥ B 1 D ， BB 1 ⊥ 底面 ABCD ， E ， F ， H 分别为 AD ， CD ， DD 1 的中点， EF 与 BD 交于点 G . (1) 证明：平面 ACD 1 ⊥ 平面 BB 1 D ； ∵ BB 1 ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AC ⊥ BB 1 . 又 AC ⊥ B 1 D ， BB 1 ∩ B 1 D ＝ B 1 ， ∴ AC ⊥ 平面 BB 1 D . ∵ AC ⊂ 平面 ACD 1 ， ∴ 平面 ACD 1 ⊥ 平面 BB 1 D . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 证明： GH ∥ 平面 ACD 1 . 证明 设 AC ∩ BD ＝ O ，连接 OD 1 . ∵ E ， F 分别为 AD ， CD 的中点， EF ∩ OD ＝ G ， ∴ G 为 OD 的中点 . ∵ H 为 DD 1 的中点， ∴ HG ∥ OD 1 . ∵ GH ⊄ 平面 ACD 1 ， OD 1 ⊂ 平面 ACD 1 ， ∴ GH ∥ 平面 ACD 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(2016· 四川广安第二次诊断 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 底面直角梯形 ABCD ， ∠ DAB 为直角， AD ＝ CD ＝ 2 ， AB ＝ 1 ， E ， F 分别为 PC ， CD 的中点 . (1) 求证： CD ⊥ 平面 BEF ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0) ， B (1,0,0) ， C (2,2,0) ， D (0,2,0) ， F (1,2,0) ， 设 PA ＝ b ，则 P (0,0 ， b ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又 BE ∩ BF ＝ B ，由此得 CD ⊥ 平面 BEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设 PA ＝ k ，且二面角 E － BD － C 的平面角大于 30° ，求 k 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 E 在 xOy 平面上的射影为 G ，过点 G 作 GH ⊥ BD ，垂足为点 H ，连接 EH ， 又 EH ⊂ 平面 EGH ， ∴ EH ⊥ BD ， 从而 ∠ EHG 即为二面角 E － BD － C 的平面角 . 由 PA ＝ k ，得 P (0,0 ， k ) ， E (1,1 ， ) ， G (1,1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即 x － 2 y ＝－ 1 . ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由 k >0 知 ∠ EHG 是锐角，由 ∠ EHG >30° ， 得 tan ∠ EHG >tan 30° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.( 2017· 铁 岭 调研 ) 如图所示，平面 ABDE ⊥ 平面 ABC ， △ ABC 是等腰直角三角形， AC ＝ BC ＝ 4 ，四边形 ABDE 是直角梯形， BD ∥ AE ， BD ⊥ BA ， BD ＝ AE ＝ 2 ， O ， M 分别为 CE ， AB 的中点 . (1) 求证： OD ∥ 平面 ABC ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，取 AC 中点 F ，连接 OF ， FB . ∵ F 是 AC 中点， O 为 CE 中点， ∴ OF ∥ DB 且 OF ＝ DB ， ∴ 四边形 BDOF 是平行四边形， ∴ OD ∥ FB . 又 ∵ FB ⊂ 平面 ABC ， OD ⊄ 平面 ABC ， ∴ OD ∥ 平面 ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 (2) 求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∵ 平面 ABDE ⊥ 平面 ABC ，平面 ABDE ∩ 平面 ABC ＝ AB ， DB ⊂ 平面 ABDE ，且 BD ⊥ BA ， ∴ DB ⊥ 平面 ABC . ∵ BD ∥ AE ， ∴ EA ⊥ 平面 ABC . 又 △ ABC 是等腰直角三角形，且 AC ＝ BC ， ∴∠ ACB ＝ 90° ， ∴ 以 C 为原点，分别以 CA ， CB 所在直线为 x ， y 轴，以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 . ∵ AC ＝ BC ＝ 4 ， ∴ C (0,0,0) ， A (4 ， 0,0) ， B (0,4,0) ， D (0,4,2) ， E (4,0,4) ， O (2,0,2) ， M (2,2,0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设平面 ODM 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 令 x ＝ 2 ，得 y ＝ 1 ， z ＝ 1 ， ∴ n ＝ (2,1,1). 设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 θ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3) 能否在 EM 上找一点 N ，使得 ON ⊥ 平面 ABDE ？若能，请指出点 N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当 N 是 EM 中点时， ON ⊥ 平面 ABDE . 由 (2) 设 N ( a ， b ， c ) ， 即 ( a － 2 ， b － 2 ， c ) ＝ λ (4 － a ，－ b, 4 － c ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ 当 N 是 EM 的中点时， ON ⊥ 平面 ABDE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9