高考数学专题复习练习第七章 第八节 立体几何中的向量方法 [理] 8页

第七章 第七节 立体几何中的向量方法 [理] ‎ 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 利用空间向量证明 平行、垂直问题 ‎1‎ ‎11‎ 利用空间向量求异面 直线所成角、线面角.‎ ‎2、3‎ ‎4、6、7‎ ‎8‎ 利用空间向量求二面角 ‎5‎ ‎10、12‎ ‎9‎ 一、选择题 ‎1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 (　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ 解析：若l∥α，则a·n＝0.‎ 而A中a·n＝－2，‎ B中a·n＝1＋5＝6，‎ C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.‎ 答案：D ‎2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ等于(　　)‎ A．2　　　　　　　B．－‎2 C．－2或 D．2或－ 解析：cos〈a，b〉＝＝＝，λ＝－2或.‎ 答案：C ‎3．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：(特殊位置法)将P点取为A1，作OE⊥AD于E，连接A1E，则A1E为OA1在平面AD1内的射影，又AM⊥A1E，∴AM⊥OA1，即AM与OP成90°角．或建系利用向量法．‎ 答案：D ‎4．(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图连结A1B，则有A1B∥CD1，‎ ‎∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，‎ 则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=.‎ 由余弦定理可知：cos∠A1BE=‎ 答案：C ‎5．(2009·滨州模拟)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：以A为原点建系，设棱长为1.‎ 则A1(0,0,1)，E(1,0，)，‎ D(0,1,0)，‎ ‎∴＝(0,1，－1)， ‎ ‎＝(1,0，－)，‎ 设平面A1ED的法向量为 n1＝(1，y，z)‎ 则∴ ‎∴n1＝(1,2,2)，‎ ‎∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝.‎ 即所成的锐二面角的余弦值为.‎ 答案：B ‎6．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB‎1C1C的中心，则AD与平面BB‎1C1C所成角的大小是 (　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB‎1C1C，故∠ADE为AD与平面BB‎1C1C所成的角．‎ 设各棱长为1，则AE＝，‎ DE＝，tan∠ADE＝＝＝，‎ ‎∴∠ADE＝60°.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．‎ 解析：建立坐标系如图，‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， ‎ ‎＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，‎ cos〈〉＝＝.‎ 答案：‎ ‎8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________．‎ 解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a，‎ 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，‎ C(-a,0,0)，P(0，－)，‎ 则＝(‎2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，‎ 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，‎ 则cos〈，n〉＝＝＝，‎ ‎∴〈，n〉＝60°，‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.‎ 答案：30°‎ ‎9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________．‎ 解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得＝，设侧面与底面所成二面角为θ，则cosθ＝＝＝，‎ ‎∴θ＝60°.‎ 答案：60°‎ 三、解答题 ‎10．(2009·包头模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．‎ ‎(1)求证：PB∥平面EAC；‎ ‎(2)若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值．‎ 解：法一：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在△PDB中，OE∥PB，又OE⊂平面AEC，‎ PB⊄平面AEC，故PB∥平面AEC.‎ ‎(2)设AD=AB=PD=PA=a，‎ ‎∵侧面PAD⊥底面ABCD，‎ 又CD⊥AD，∴CD⊥侧面PAD，∴AE⊥DC，‎ 又△PAD为正三角形，且E为PD中点，‎ ‎∴AE⊥PD，故AE⊥平面PDC 在等腰△PDC中，作DM⊥PC，则M为PC的中点，‎ 再作EN∥DM交PC于点N，则EN⊥PC，连接AN，‎ 则∠ANE为二面角A-PC-D的平面角，‎ 在Rt△PDC中，DM=a，所以EN=a，‎ 在等边△PAD中，AE=a，所以tan∠ANE=‎ 法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O为AD的中点．设PA=AD=PD=a，AB=b，‎ 则P(0,0，a)，D(－，0,0)，E(－，0，a)，B(，b,0)，‎ 连接BD交AC于点F，则F(0，，0)．‎ ‎＝(，，－a)，＝(，b，－a)＝2，‎ ‎∴∥，又EF⊂平面AEC，且PB⊄平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面EAC.‎ ‎(2)设PA＝AD＝PD＝AB＝a，‎ 则P(0,0，a)，A (，0,0)，C(－，a,0)，D(－，0,0)．‎ ‎＝(－a，a,0)，＝(－，a，－a)，‎ ‎＝(－，0，－a)，‎ 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAC的法向量，‎ 则即 令z1＝1，解得x1＝y1＝，∴n1＝(，，1)，‎ 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，‎ 则即 令z2＝1，解得x2＝－，y2＝0，∴n2＝(－，0,1)，‎ cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ 设所求二面角的平面角为α，‎ 则cosα＝，sinα＝，tanα＝.‎ ‎11．(2010·江苏苏北三市模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，PA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，PA＝CD＝4.‎ ‎(1)求证：BD⊥PC；‎ ‎(2)求二面角B—PC—A的余弦值．‎ 解析：(1)证明：以A为原点，建立如图所示空间直 角坐标系，‎ 则B(0,1,0)，C(-2,4,0)，D(-2,0,0)，P(0,0,4)，‎ ‎∴ (－2,4，－4)，＝(－2，－1,0)，‎ ‎∴＝4－4＝0，‎ 所以PC⊥BD.‎ ‎(2)易证为平面PAC的法向量，＝(－2，－‎ ‎1,0)．‎ 设平面PBC的法向量n＝(a，b，c)，‎ ‎＝(0,1，－4)，＝(－2,3,0)，‎ 所以⇒ 所以平面PBC的法向量n＝(6,4,1)，‎ ‎∴cosθ＝＝＝－.‎ 因为平面PAC和平面PBC所成的角为锐角，‎ 所以二面角B—PC—A的余弦值为 ‎12．(2009·湖北五市调研)如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)．‎ ‎(1)求证：AB∥平面DNC；‎ ‎(2)当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为30°？‎ 解：法一：(1)证明：∵MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，‎ ‎∴MB∥平面DNC.‎ 同理MA∥平面DNC，又MA∩MB=M，且MA、MB⊂‎ AB∥平面DNC.‎ ‎(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H，‎ ‎∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，‎ ‎∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，‎ ‎∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角．‎ 由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，‎ CN=4-2cos60°=3，∴NH=3sin60°=.‎ 由条件知：tan∠NHD=‎ ‎∴DN=NH 法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z 轴，建立空间直角坐标系N-xyz，易得NC=3，MN=，‎ 设DN=a，则D(0,0，a)，C(0,3,0)，B(,4,0)，M(,0,0)，‎ A(,0，a)． ‎ ‎(1)证明：∵＝(0,0，a)，＝(0,3,0)，＝(0,4，－a)．‎ ‎∴＝－(0,0，a)＋(0,3,0)＝－＋，‎ ‎∵ND，NC⊂平面DNC，且ND∩NC＝N，‎ ‎∴与平面DNC共面，又AB⊄平面DNC，‎ ‎∴AB∥平面DNC.‎ ‎(2)设平面DBC的法向量n1＝(x，y，z)，‎ ‎＝(0,3，－a)，＝(，1,0)‎ 则，令x＝－1，则y＝，z＝.‎ ‎∴n1＝(－1，，)．‎ 又平面NBC的法向量n2＝(0,0,1)．‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.‎ 即：＝.∴a2＝，‎ 又a＞0，∴a＝，‎ 即DN＝.‎