2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第八章 平面解析几何 第7节 4页

第八章 第7节 ‎1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于(　　 )‎ A．1　　　　　　　　 B. C．2 D. 解析：D　[因为抛物线的标准方程为x2＝y，‎ 所以其焦点坐标为，‎ 则有＝1，解得a＝.]‎ ‎2．(2020·永州模拟)已知抛物线y＝px2(其中p为常数)经过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：D　[x2＝y，过点(1,3)，则x2＝y，p＝，所以焦点到准线的距离是.故选D.]‎ ‎3．(2020·厦门质检)已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是(　　 )‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：B　[由y2＝4x，得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离x1＋1，同理，|BF|等于B到准线x＝－1的距离x2＋1，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，x1＋x2＝4，中点横坐标为x0＝＝2，∴AB中点到y轴的距离是|x0|＝2，故选B.]‎ ‎4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　 )‎ A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y 解析：C　[由得或 即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，‎ 则＝4，得p＝1(舍去负值)，‎ 故抛物线C的方程为x2＝2y.]‎ ‎5．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，O为坐标原点，A为抛物线C上一点，若|AF|＝2，则△OAF的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：A　[设A(x0，y0)，则由|AF|＝x0＋＝x0＋＝2，得x0＝，由A点在抛物线C上，可得|y0|＝，又|OF|＝，所以S△OAF＝×|OF|×|y0|＝，故选A.]‎ ‎6．(2020·上海徐汇区模拟)已知抛物线x2＝ay的准线方程是y＝－，则a＝　________　 .‎ 解析：由题意，可知该抛物线的开口方向为y轴的正半轴，其标准方程为x2＝2py(p>0)，又其准线方程为y＝－，所以＝，则p＝，所以a＝2p＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是　________　.‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ 答案：2x－y－1＝0‎ ‎8．(2020·海南五校一模)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为　________　.‎ 解析：设M(x，y)，连接MF，则|MF|＝x＋1，易知抛物线C的焦点F(1,0)为圆的圆心，圆的半径r＝|FA|＝.因为MA为切线，所以MA⊥AF，在Rt△MAF中，|MA|＝＝，易知△MAF≌△MBF，所以四边形AFBM的面积S＝|MA|r＝ ‎×，又x≥0，所以x＝0时面积取得最小值，所以Smin＝×＝.‎ 答案： ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．‎ 又∵F(1,0)，∴kFA＝.‎ ‎∵MN⊥FA，∴kMN＝－.‎ 又FA的方程为y＝(x－1)，‎ 故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，‎ ‎∴N的坐标为.‎ ‎10．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－‎4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，‎ x1＝2＋2，x2＝2－2 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，‎ 解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.‎