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- 2021-06-24 发布
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1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.
2.二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
【知识拓展】
1.有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
2.三个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( √ )
1.(教材改编)函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 f(x)是增函数,又f(0)=-1,f(1)=,
∴f(0)f(1)<0,∴f(x)有且只有一个零点.
2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2+1
答案 A
解析 由于y=sin x是奇函数;y=ln x是非奇非偶函数;y=x2+1是偶函数但没有零点;只有y=cos x是偶函数又有零点.
3.(2016·吉林长春检测)函数f(x)=ln x+x--2的零点所在的区间是( )
A.(,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
答案 C
解析 因为f()=-+-e-2<0,f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-<0,f(e)=+e--2>0,
所以f(2)f(e)<0,所以函数f(x)=ln x+x--2的零点所在区间是(2,e).
4.函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为________.
答案 2
解析 由f(x)=0,得|log0.5x|=x,
作出函数y=|log0.5x|和y=x的图象,
由图象知两函数图象有2个交点,
故函数f(x)有2个零点.
5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 ∵函数f(x)的图象为直线,由题意可得
f(-1)f(1)<0,
∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得0,
∴x0∈(2,3),故选C.
(2)令f(x)=x3-()x-2,则f(x0)=0,易知f(x)为增函数,且f(1)<0,f(2)>0,∴x0所在的区间是(1,2).
命题点2 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)=的零点个数是________.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( )
A.多于4 B.4
C.3 D.2
答案 (1)2 (2)B
解析 (1)当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点;当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图,
观察图象可以发现它们有4个交点,
即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
思维升华 (1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.
(1)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
(2)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
(2)由f(x)=xcos x2=0,得x=0或cos x2=0.
又x∈[0,4],所以x2∈[0,16].
由于cos(+kπ)=0(k∈Z),
而在+kπ(k∈Z)的所有取值中,只有,,,,满足在[0,16]内,故零点个数为1+5=6.
题型二 函数零点的应用
例3 (1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(2)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是________________.
答案 (1)C (2)(0,1)∪(9,+∞)
解析 (1)因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0.所以0<a<3.
(2)设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|,
在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.
由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,
所以有两组不同解,
消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根,
所以Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0,∴09.
引申探究
本例(2)中,若f(x)=a恰有四个互异的实数根,则a的取值范围是________________.
答案 (0,)
解析 作出y1=|x2+3x|,y2=a的图象如下:
当x=-时,y1=;当x=0或x=-3时,y1=0,
由图象易知,当y1=|x2+3x|和y2=a的图象有四个交点时,00且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
(2)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围为________.
思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围.
(2)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决.
解析 (1)函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,即方程ax-x-a=0有两个根,即函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.
当01时,图象如图②所示,此时有两个交点.
∴实数a的取值范围为(1,+∞).
(2)由方程,解得a=-,设t=2x(t>0),
则a=-=-(t+-1)
=2-[(t+1)+],其中t+1>1,
由基本不等式,得(t+1)+≥2,当且仅当t=-1时取等号,故a≤2-2.
答案 (1)(1,+∞) (2)(-∞,2-2]
1.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案 B
解析 ∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,
∴f(1)·f(2)<0,
∵函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).
2.(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A. B.-2
C.0或 D.0
答案 D
解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,
又因为x>1,所以此时方程无解.
综上,函数f(x)的零点只有0,故选D.
3.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )
A.a0且f(x)为R上的递增函数.
故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).
∵g(2)=0,∴g(x)的零点b=2;
∵h=-1+=-<0,h(1)=1>0,
且h(x)为(0,+∞)上的增函数,
∴h(x)的零点c∈,因此a0)的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0,∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图,
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.
5.已知函数f(x)=则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(-∞,-2]
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析 当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.
6.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=-a(x≠0)有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是________________.
答案 ∪[,)
解析 当00的解集是________________.
答案 {x|-0,
即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,
解集为{x|-a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a),即a<0或a3>a2,解得a<0或a>1,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
9.(2016·天津)已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是____________.
答案
解析 因为函数f(x)在R上单调递减,
所以 解得≤a≤.
作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图.
由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-∞,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<.综上可得≤a<,
所以a的取值范围是.
*10.(2016·衡水期中)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x-4的零点为n,则+的最小值为________.
答案 1
解析 设F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4-x,则h(x)与F(x),G(x)的交点A,B横坐标分别为m,n(m>0,n>0).
因为F(x)与G(x)关于直线y=x对称,
所以A,B两点关于直线y=x对称.
又因为y=x和h(x)=4-x交点的横坐标为2,
所以m+n=4.
又m>0,n>0,
所以+=(+)·
=(2++)≥(2+2 )=1.
当且仅当=,即m=n=2时等号成立.
所以+的最小值为1.
11.设函数f(x)=(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)当00.
又∵a>0,f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,
且f(1)=-4a,
∴f(x)min=-4a=-4,a=1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)∵g(x)=-4ln x
=x--4ln x-2 (x>0),
∴g′(x)=1+-=.
令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当03,
又g(e5)=e5--20-2>25-1-22=9>0.
故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3,e5).
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