高考数学专题复习练习：13-2-2 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：50分钟)‎ ‎1．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．‎ ‎【解析】 由柯西不等式(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝1，‎ ‎∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为.‎ ‎2．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.‎ ‎【解析】 (1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，‎ ‎①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；‎ ‎②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；‎ ‎③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.‎ 综上可得，不等式的解集为∪.‎ ‎(2)证明 ∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，‎ 解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，‎ ‎∴解得a＝1，‎ 所以＋＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以m＋2n＝(m＋2n) ‎＝2＋＋≥2＋2 ＝4，‎ 当且仅当m＝2，n＝1时取等号．‎ ‎3．(2017·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．‎ ‎【解析】 ∵(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2]· ‎≥＝18.‎ ‎∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.‎ ‎4．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z.‎ ‎【解析】 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.‎ ‎5．(2017·南京、盐城联考)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎【证明】 因为[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，‎ 又a＋b＋c＞0，‎ 所以＋＋≥a＋b＋c(当且仅当＝＝时取等号)．‎ ‎6．(2017·苏州模拟)已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．‎ ‎【解析】 由柯西不等式得 ‎(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，‎ ‎∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.‎ ‎∵2a＋2b＋c＝8，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，‎ 当且仅当＝＝c－3时等号成立，‎ ‎∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：40分钟)‎ ‎7．(2016·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎【解析】 (1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2，得－2x＜2，解得x＞－1，‎ 即－1＜x≤－；‎ 当－＜x＜时，f(x)＝1＜2，即－＜x＜；‎ 当x≥时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1，‎ 即≤x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明 由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎8．(2017·黑龙江哈尔滨三中第二次检测)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.‎ ‎(1)求证：ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)证明 ∵a＋b＋c＝2，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，‎ ‎∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋ac≤.‎ ‎(2)∵a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，‎ ‎∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥.‎ ‎∵0＜a＜1，∴a＞a2.同理b＞b2，c＞c2.‎ ‎∴a2＋b2＋c2＜a＋b＋c＝2，∴≤a2＋b2＋c2＜2，‎ ‎∴a2＋b2＋c2的取值范围为.‎ ‎9．(2017·锦州一模)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，求a的取值范围；‎ ‎(2)设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，‎ 且|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，‎ ‎∴a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎(2)由柯西不等式，得 ‎[42＋()2＋22]· ‎≥ ‎＝(x＋y＋z)2，‎ 即25×1≥(x＋y＋z)2.‎ ‎∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.‎ ‎∴x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．‎ ‎10．(2017·南京模拟)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．‎ ‎(1)求＋＋的最小值；‎ ‎(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.‎ ‎【解析】 (1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，‎ 所以＋＋≥3· ‎＝3·≥3·＝3×＝6，‎ 当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.‎ 方法二　因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，‎ 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)‎ ‎＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2‎ ‎＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)‎ ‎≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)‎ ‎＝x1x2(a2＋b2＋2ab)‎ ‎＝x1x2(a＋b)2‎ ‎＝x1x2，‎ 当且仅当x1＝x2时，取得等号．‎ 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.‎