高考数学专题复习练习：第四章 4_5 第2课时简单的三角恒等变换 14页

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 例1　(1)化简：＝ .‎ ‎(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝ .‎ 答案　(1)cos 2x　(2) 解析　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝cos 2x.‎ ‎(2)由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.‎ 因为cos＝>0，θ∈，‎ 所以0<θ<，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝.‎ 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)‎ ‎，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎　(1)已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)＝ .‎ ‎(2)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　(1)－1　(2)D 解析　(1)cos x＋cos(x－)‎ ‎＝cos x＋cos x＋sin x ‎＝cos x＋sin x＝cos(x－)‎ ‎＝×(－)＝－1.‎ ‎(2)cos 2α＝sin ‎＝sin ‎＝2sincos 代入原式，得 ‎6sincos＝sin，‎ ‎∵α∈，∴cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos ‎＝2cos2－1＝－.‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给值求值问题 例2　(1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .‎ 答案　 解析　∵α为锐角，‎ ‎∴sin α＝＝.‎ ‎∵α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝＝.‎ ‎(2)(2015·广东)已知tan α＝2.‎ ‎①求tan(α＋)的值；‎ ‎②求的值．‎ 解　①tan(α＋)＝＝＝－3.‎ ‎② ‎＝ ‎＝＝＝1.‎ 命题点2　给值求角问题 例3　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．‎ 答案　(1)C　(2)－ 解析　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝－，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝ ‎＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝ ‎＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，‎ ‎∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华　(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ ‎　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝ .‎ ‎(2)(2016·成都检测)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D. 答案　(1)　(2)A 解析　(1)∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴ ‎＝＝.‎ ‎(2)因为α∈[，π]，sin 2α＝>0，‎ 所以2α∈[，π]，‎ 所以cos 2α＝－且α∈[，]，‎ 又因为sin(β－α)＝>0，β∈[π，]，‎ 所以β－α∈[，π]，‎ 所以cos(β－α)＝－，‎ 因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]‎ ‎＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ‎＝×(－)＋(－)× ‎＝－，‎ cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝(－)×(－)－×＝，‎ 又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝，故选A.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例4　(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是 ，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 思维升华　三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎　(1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 ．‎ ‎(2)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是 ．‎ 答案　(1)1　(2)π 解析　(1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，‎ ‎－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.‎ ‎(2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，‎ ‎∴T＝＝π.‎ ‎9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例　(12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性．‎ 思想方法指导　(1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．‎ ‎(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，[4分]‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.[6分]‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π，[7分]‎ 从而当0≤2x－≤，‎ 即≤x≤时，f(x)单调递增，[9分]‎ 当≤2x－≤π，‎ 即≤x≤时，f(x)单调递减．[11分]‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．[12分]‎ ‎1．(2016·青岛模拟)设tan(α－)＝，则tan(α＋)等于(　　)‎ A．－2 B．2 C．－4 D．4‎ 答案　C 解析　因为tan(α－)＝＝，‎ 所以tan α＝，故tan(α＋)＝＝－4，故选C.‎ ‎2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.‎ ‎3．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则的值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 答案　D 解析　＝＝2tan α＝2×3＝6.‎ ‎4．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－.‎ 又－<α<0，所以sin α＝－.‎ 故＝＝2sin α ‎＝－.‎ ‎5．设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案　B 解析　由tan α＝，得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．‎ ‎∵α∈(0，)，β∈(0，)，‎ ‎∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，‎ 由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ ‎6．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　C 解析　∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)‎ ‎＝2sin，‎ 由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴θ＝kπ－π(k∈Z)．‎ ‎∵|θ|＜，∴θ＝.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．故选C.‎ ‎7．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 ．‎ 答案　8‎ 解析　∵f(x)＝2tan x＋ ‎＝2tan x＋＝＝，‎ ‎∴f＝＝8.‎ ‎8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝ .‎ 答案　 解析　由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.‎ ‎9．化简：＝ .‎ 答案　－4 解析　原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝－4.‎ ‎10．函数f(x)＝sin x－2sin2x (≤x≤)的最小值是 ．‎ 答案　－1‎ 解析　f(x)＝sin x－(1－cos x)‎ ‎＝2sin(x＋)－1，‎ 又≤x≤，∴≤x＋≤π，‎ ‎∴f(x)min＝2sin π－1＝－1.‎ ‎11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f()的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈(，π)，求f(＋)．‎ 解　(1)f()＝cos2＋sincos ‎＝()2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin(2x＋)，‎ 所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)‎ ‎＝＋sin(α＋)＝＋(sin α＋cos α)．‎ 又因为sin α＝，且α∈(，π)，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f(＋)＝＋(×－×)‎ ‎＝.‎ ‎12．(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 由正弦函数y＝sin x在上的图象知，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.‎ ‎*13.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．‎ 解　(1)f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx ‎＝cos 2ωx＋sin 2ωx ‎＝2sin.‎ 由于直线x＝是函数f(x)＝2sin图象的一条对称轴，‎ ‎∴sin＝±1.‎ ‎∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴ω＝k＋(k∈Z)．‎ 又0＜ω＜1，∴－＜k＜.‎ 又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin，‎ 由题意可得 g(x)＝2sin，‎ 即g(x)＝2cos x.‎ ‎∵g＝2cos＝，‎ ‎∴cos＝.‎ 又α∈，‎ ‎∴＜α＋＜，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∴sin α＝sin ‎＝sincos －cossin ‎＝×－×＝.‎