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- 2021-06-24 发布
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课时达标检测(五十六) 随机事件的概率
[练基础小题——强化运算能力]
1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析:选D A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.
2.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )
A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件
解析:选D 由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.
3.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法正确的是( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输了的概率是 D.乙不输的概率是
解析:选A “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是P=1--=,故A正确;“乙输了”等于“甲获胜”,其概率为,故C不正确;设事件A为“甲不输”,则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=或设事件A为“甲不输”,则A是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-=,故B不正确;同理,“乙不输”
的概率为,故D不正确.
4.某城市2016年的空气质量状况如下表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;500,y>0,+=1.则x+y=(x+y)·=5+≥9,当且仅当x=2y时等号成立,故x+y的最小值为9.
答案:9
三、解答题
11.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)由已知可得Y=+425,
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=++=.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
12.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.
解:(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”
作物株数为4的作物有3株.列表如下:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
===46.
(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.
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