2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识2 17页

第 2 课时　习题课　充分条件与 必要条件 的 综合应用 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 充要条件 的证明 例 1 已知 ab ≠0, 求证 : a+b= 1 的充要条件是 a 3 +b 3 +ab-a 2 -b 2 = 0 . 分析 第一步 , 审题 , 分清条件与结论 : 在 “ p 是 q 的充要条件 ” 中 p 是条件 , q 是结论 ; 在 “ p 的充要条件是 q ” 中 , p 是结论 , q 是条件 . 本题中条件是 a 3 +b 3 +ab-a 2 -b 2 = 0, 结论是 “ ab ≠0 时 , a+b= 1” . 第二步 , 根据要求确定解题步骤 . 分别证明 “ 充分性 ” 与 “ 必要性 ”, 先证必要性 :“ 结论 ⇒ 条件 ”; 再证充分性 :“ 条件 ⇒ 结论 ” . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 证明 : ( 必要性 ) ∵ a+b= 1, ∴ a+b- 1 = 0 . ∴ a 3 +b 3 +ab-a 2 -b 2 = ( a+b )( a 2 -ab+b 2 ) - ( a 2 -ab+b 2 ) = ( a+b- 1)( a 2 -ab+b 2 ) = 0 . ( 充分性 ) ∵ a 3 +b 3 +ab-a 2 -b 2 = 0, ∴ ( a+b- 1)( a 2 -ab+b 2 ) = 0 . 又 ab ≠0, ∴ a ≠0, 且 b ≠0 . ∴ a+b- 1 = 0, 即 a+b= 1 . 综上可知 , 当 ab ≠0 时 , a+b= 1 的充要条件是 a 3 +b 3 +ab-a 2 -b 2 = 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 充要条件的证明 (1) 充要条件的证明问题 , 关键是理清题意 , 认清条件与结论分别是什么 . (2) 证明 p 是 q 的充要条件 , 既要证明 “ p ⇒ q ” 为真 , 又要证明 “ q ⇒ p ” 为真 , 前者证明的是充分性 , 后者证明的是必要性 . (3) 证明 p 的充要条件是 q , 既要证明 “ p ⇒ q ” 为真 , 又要证明 “ q ⇒ p ” 为真 , 前者证明的是必要性 , 后者证明的是充分性 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 求证 : 方程 ax 2 +bx+c= 0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c= 0 . 证明 : ( 必要性 ) ∵ 关于 x 的方程 ax 2 +bx+c= 0 有一个根为 1, ∴ x= 1 满足方程 ax 2 +bx+c= 0 . ∴ a× 1 2 +b× 1 +c= 0, 即 a+b+c= 0 . ( 充分性 ) ∵ a+b+c= 0, ∴ c=-a-b , 代入方程 ax 2 +bx+c= 0 中 , 可得 ax 2 +bx-a-b= 0, 即 ( x- 1)( ax+a+b ) = 0 . 因此 , 方程有一个根为 x= 1 . 故关于 x 的方程 ax 2 +bx+c= 0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c= 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 例 2 已知 p : - 4 0), 若 p 是 q 的必要条件 , 求实数 m 的取值范围 . 解 : 设 A= { x|- 1 0}, 因为 p 是 q 的必要条件 , 所以 B ⊆ A , 在数轴上标出两集合 , 如图 , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 若 “ x