2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3 12页

www.ks5u.com ‎3.3.2　‎抛物线的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握抛物线的几何性质．(重点) ‎ ‎2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)‎ ‎3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)‎ ‎1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.‎ ‎2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.‎ ‎(1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣．‎ ‎(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？‎ 为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质．‎ ‎1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0)‎ y2＝－2px(p＞0)‎ x2＝2py(p＞0)‎ x2＝－2py(p＞0)‎ 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 ‎(0,0)‎ 离心率 e＝1‎ ‎2.焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.‎ ‎3．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．‎ 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.‎ ‎①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；‎ ‎②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．‎ Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．‎ Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．‎ 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？‎ ‎[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)抛物线是无中心的圆锥曲线． (　　)‎ ‎(2)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p． (　　)‎ ‎(3)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． (　　)‎ ‎[提示]　(1)√　(2)√　(3)×‎ ‎2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．x2＝16y　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y D　[顶点到准线的距离为，则＝4.解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y.]‎ ‎3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)‎ A．10 B．8‎ C．6 D．4‎ B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]‎ ‎4．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.‎ ‎4　[双曲线的左焦点为(－，0)，由条件可知，－＝－，解得p＝4.]‎ 抛物线性质的应用 ‎【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．‎ ‎(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．‎ ‎[思路探究]　(1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标，然后再求方程．‎ ‎(2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形的关联性求解．‎ ‎(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，‎ 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]‎ ‎(2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，‎ 设|BF|＝a，则由已知得：‎ ‎|BC|＝2a，‎ 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，‎ 在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，‎ ‎∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.‎ 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．若直线x＝m与抛物线y2＝4x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF 为等边三角形，求m的值．‎ ‎[解]　根据题意△ABF为等边三角形，则 tan 60°＝，m＞0，‎ 解得m＝7±12.‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎【例2】　(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？‎ ‎(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．‎ ‎[思路探究]　(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意．‎ ‎(2)→ ‎→分类讨论方程有一解时a的取值 ‎[解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．‎ 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；‎ 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.故满足条件的直线有三条．‎ ‎(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①.‎ ‎(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解 ‎(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．‎ 令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.‎ 所以原方程组有唯一解 综上，实数a的取值集合是.‎ 直线与抛物线交点问题的解题思路 ‎(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．‎ ‎(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.‎ ‎[证明]　由消去y，得x2－12x＋16＝0.‎ ‎∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，‎ ‎∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.‎ ‎∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，‎ ‎∴⊥，即OA⊥OB.‎ 中点弦及弦长公式 ‎【例3】　过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．‎ ‎[思路探究]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；也可以设直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，通过“设而不求”求解．‎ ‎[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．‎ 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，‎ 即＝4，∴kAB＝4.‎ ‎∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.‎ 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.‎ 联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，‎ 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．‎ 由根与系数的关系得y1＋y2＝.‎ 又y1＋y2＝2，∴k＝4.‎ ‎∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.‎ ‎“中点弦”问题解题方法 ‎[跟进训练]‎ ‎3．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．‎ ‎[解]　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，‎ ‎∴x1＋x2＝6－p.①‎ 由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.‎ ‎∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.‎ 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.‎ 抛物线的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？‎ ‎[提示]　两条直线的斜率互为相反数．‎ ‎2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？‎ ‎[提示]　常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值．‎ ‎【例4】　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．‎ ‎[思路探究]　第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．‎ ‎[解]　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.‎ 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.‎ ‎1.若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？‎ ‎[解]　由解得或 由图可知，A(4,4)，B(1，－2)，‎ 则|AB|＝3.‎ 设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则 d＝＝ ‎＝|(y0－1)2－9|.‎ ‎∵－2