高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十三　函数奇偶性的应用 11页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时素养评价 二十三　函数奇偶性的应用 ‎　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)‎ ‎1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　)‎ A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3‎ C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3‎ ‎【解析】选B.若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.‎ ‎2.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,g(x)=-x2-mx在(-∞,0)内单调递增,则实数m= (　　)‎ A.-2 B.±2 C.0 D.2‎ ‎【解析】选A.由函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,得m2-4=0.‎ 解得m=±2.又当m=2时,g(x)=-x2-2x,该函数在(-∞,0)内不单调递增,故m≠2.当m=-2时,g(x)=-x2+2x,该函数在(-∞,0)内单调递增,故m=-2.‎ ‎3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则 (　　)‎ A.f(-x1)>f(-x2)‎ B.f(-x1)=f(-x2)‎ C.f(-x1)-x1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)1 B.a<-2‎ C.a>1或a<-2 D.-11或a<-2.‎ ‎5.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.‎ ‎【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,‎ 所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).‎ 由f(x)+g(x)=,①‎ 用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,‎ 所以f(x)-g(x)=,②‎ ‎(①+②)÷2,得f(x)=;‎ ‎(①-②)÷2,得g(x)=.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)‎ 一、单选题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有 (　　)‎ A.最大值- B.最大值 C.最小值- D.最小值 ‎【解析】选B.方法一(直接法):当x>0时,-x<0,‎ 所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),‎ 所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,‎ 所以f(x)有最大值.‎ 方法二(奇函数的图象特征):当x<0时,‎ f(x)=x2+x=-,‎ 所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,‎ 所以当x>0时,f(x)有最大值.‎ ‎2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)一定单调递减.‎ ‎3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上单调递减,则f与f的大小关系是 (　　)‎ A.f>f B.fb>0,则下列不等式中成立的为 (　　)‎ A.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)‎ C.f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)‎ ‎【解析】选AC.函数f(x)为R上的奇函数,且为减函数,偶函数g(x)在区间[0,‎ ‎+∞)上的图象与f(x)的图象重合,由a>b>0,得f(a)0,则函数f(x)满足 (　　)‎ A.f(0)=0‎ B.函数f(x)是奇函数 C.f(x)在[m,n]上有最大值f(n)‎ D.f(x-1)>0的解集为(-∞,1)‎ ‎【解析】选ABD.令x=y=0,则f(0)=‎2f(0),故f(0)=0,选项A正确;‎ 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),则f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),故函数f(x)为奇函数,选项B正确;‎ 设x10,即f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)为R上的减函数,所以f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),选项C错误;‎ f(x-1)>0等价于f(x-1)>f(0),又f(x)为R上的减函数,故x-1<0,解得x<1,选项D正确.‎ 三、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=　　　　. ‎ ‎【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x<0,根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.‎ ‎【解析】当x<0时,-x>0,F(-x)=-2x-3,‎ 又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),‎ 所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.‎ 答案:2x+3‎ ‎【补偿训练】‎ ‎　 　设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为　　　　. ‎ ‎【解析】由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.‎ 答案:f(x)=x+2‎ ‎8.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在[-1,a]上的奇函数,则a=　　　　,f(0)=　　　　. ‎ ‎【解析】根据题意,函数f(x)是定义在[-1,a]上的奇函数,则(-1)+a=0,解可得a=1,‎ 即f(x)的定义域为[-1,1],则f(0)=0.‎ 答案:1　0‎ 四、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.‎ ‎(1)求出函数f(x)在R上的解析式.‎ ‎(2)画出函数f(x)的图象.‎ ‎(3)根据图象,写出函数f(x)的单调递减区间及值域.‎ ‎【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,‎ 所以f(x)=f(-x).‎ 当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.‎ 综上,f(x)=‎ ‎(2)函数f(x)的图象如图所示:‎ ‎(3)由(2)中图象可知,f(x)的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞),函数f(x)的值域为(-∞,1].‎ ‎10.函数f(x)=,‎ ‎(1)证明函数的奇偶性.‎ ‎(2)判断函数在(-∞,0)上的单调性,并证明.‎ ‎【解析】(1)因为f(x)=的定义域为{x|x≠0},‎ f(-x)===f(x),‎ 所以函数f(x)为偶函数.‎ ‎(2)函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,‎ 证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x10,x2+x1<0,‎ 所以<0,‎ 即f(x1)0时,f(x)<0,解得x>3;‎ 当x<0时,f(x)>0,解得-33}‎ ‎2.已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.‎ ‎(1)求证:f(x)是偶函数.‎ ‎(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎(3)试比较f与f的大小.‎ ‎【解析】(1)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).‎ 令x1=x2=1,得f(1×1)=f(1)+f(1),‎ 所以f(1)=0.令x1=x2=-1,‎ 得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),‎ 所以‎2f(-1)=0,所以f(-1)=0.‎ 所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),‎ 所以f(x)是偶函数.‎ ‎(2)设0x1>0,所以>1,所以f>0,‎ 即f(x2)-f(x1)>0.‎ 所以f(x2)>f(x1),即f(x1)f.所以f>f.‎ 关闭Word文档返回原板块