2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 11页

www.ks5u.com ‎11.3.3　‎平面与平面平行 ‎[课程目标] 1.掌握两个平面平行的定义及两个平面的位置关系； 2.掌握两个平面平行的判定定理及推论，并能熟练应用； 3.掌握两个平面平行的性质定理，并能熟练应用．‎ 知识点　　 平面和平面平行 ‎[填一填]‎ ‎1．平面与平面的位置关系 ‎2.两个平面平行的判定定理 ‎(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(2)符号表示：l⊂β，m⊂β，l∩m≠∅，l∥α，m∥α⇒β∥α.‎ ‎(3)图形表示：‎ 利用直线与平面平行的判定定理，我们可以得到：‎ 推论　如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．‎ ‎3．两个平面平行的性质定理 ‎(1)文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．‎ ‎(2)符号表示：α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒l∥m.‎ ‎(3)图形表示：‎ ‎4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．‎ ‎5．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．‎ 符号表示：α∥β，a⊂α⇒a∥β.‎ ‎[答一答]‎ ‎1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？‎ 提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．‎ ‎2．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？‎ 提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．‎ ‎3．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？‎ 提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A ‎，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.‎ ‎4．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定平行吗？为什么？‎ 提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．‎ 类型一　　两个平面的位置关系 ‎[例1]　(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？‎ ‎(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？‎ ‎[解]　(1)不正确．‎ 如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.‎ ‎(2)正确．‎ 平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．‎ 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系：①‎ 平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.‎ ‎[变式训练1]　已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题的个数是(　A　)‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β.‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．3‎ 解析：①不正确，n∥α，过n作平面β与α相交，n与其交线平行，m⊂α，m不一定与其交线平行；‎ ‎②不正确，设α∩β＝l，m∥l，也可有m∥α，且m∥β；‎ ‎③不正确，有m⊂α或m⊂β的可能.‎ 类型二　　面面平行的判定定理 ‎[例2]　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．‎ 求证：平面BDGH∥平面AEF.‎ ‎[证明]　如图，在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，‎ 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，‎ 所以GH∥平面AEF.‎ 又AC∩BD＝O，连接OH，‎ 在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，‎ 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，‎ 所以OH∥平面AEF.‎ 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，‎ 所以平面BDGH∥平面AEF.‎ 平面与平面平行的判定方法 ‎(1)定义法：两个平面没有公共点．‎ ‎(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．‎ ‎(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.‎ ‎(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ ‎[变式训练2]　如图，在四棱锥PABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.‎ 求证：平面EFO∥平面PCD.‎ 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．‎ 又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.‎ 又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD.‎ 因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，‎ 又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.‎ 又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，‎ 所以平面EFO∥平面PCD.‎ 类型三　　面面平行的性质定理 ‎[例3]　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎[证明]　∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.‎ ‎∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，‎ ‎∴A′D′∥平面BB′C′C.‎ 同理AA′∥平面BB′C′C.‎ ‎∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，‎ 且A′D′∩AA′＝A′，‎ ‎∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C，‎ 又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，‎ 平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.‎ 同理可证AB∥CD.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．‎ ‎2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．‎ ‎[变式训练3]　如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.‎ 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，‎ 所以DE∥AB.‎ 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，‎ 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，‎ 所以平面DEF∥平面ABC.‎ 又平面PCM∩平面DEF＝NF，‎ 平面PCM∩平面ABC＝CM，‎ 所以NF∥CM.‎ 类型四　　面面平行的判定定理和性质定理的综合应用 ‎[例4]　已知AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.‎ ‎[证明]　(1)若AB、CD在同一平面内，‎ 则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.‎ ‎∵α∥β，∴AC∥BD.‎ 又M、N为AB、CD中点，∴MN∥BD.‎ 又BD⊂平面α，∴MN∥平面α.‎ ‎(2)若AB、CD既不平行也不相交，如图，过A作AE∥CD交α于 E点，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.‎ ‎∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.‎ 设平面AEDC与α、β的交线为ED、AC.‎ ‎∵α∥β，∴AC∥ED.‎ 又P、N为AE、CD的中点，∴PN∥ED，∴PN∥平面α.‎ 同理可证MP∥BE.∴MP∥平面α.‎ 又∵MP∩NP＝P，∴平面MPN∥平面α.‎ 又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.‎ ‎1.解答本类问题要熟练掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活转化．‎ ‎2．要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：‎ 这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法．‎ ‎[变式训练4]　已知P为△ABC所在平面外一点，G1，G2，G3分别是△PAB，△PCB，△PAC的重心．‎ ‎(1)求证：平面G‎1G2G3∥平面ABC.‎ ‎(2)求△G‎1G2G3与△ABC的面积比值．‎ 解：(1)证明：如图，‎ 连接PG1，PG2，PG3，并延长使之分别交AB，BC，CA于D，E，F三点．∵G1，G2，G3分别是△PAB，△PCB，△PAC的重心，‎ ‎∴＝＝＝.∴连接G‎1G2，G‎2G3，G‎3G1及DE，EF，FD后有G‎1G2∥DE，G‎2G3∥EF，即G‎1G2∥平面ABC，G‎2G3∥平面ABC.又因为G‎1G2∩G‎2G3＝G2，故平面G‎1G2G3∥平面ABC.‎ ‎(2)G‎1G2∥DE，G‎2G3∥EF，＝＝，则＝，＝，即G‎1G2＝DE，G‎2G3＝EF.而DE＝AC，EF＝AB，故G‎1G2＝AC，G‎2G3＝AB，即＝＝，则＝.‎ ‎1．下列结论正确的是(　D　)‎ ‎①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行；‎ ‎②过平面外两点不能作平面与已知平面平行；‎ ‎③若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行；‎ ‎④平行于同一平面的两平面平行．‎ A．①②④ B．②③‎ C．②④ D．①④‎ 解析：②中当平面外两点的连线与已知平面平行时，过此两点能作一个平面与已知平面平行．③中若一直线与一平面平行，那么经过这条直线的平面中只有一个与已知平面平行，其余与已知平面相交．‎ ‎2．平面α∥平面β的一个条件是(　D　)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析：对于选项A，当α、β两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α、β相交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在α、β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a、b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a相交，由面面平行判定的推论可知其正确．‎ ‎3．在正方体EFGHE‎1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　A　)‎ A．平面E1FG1与平面EGH1‎ B．平面FHG1与平面F1H‎1G C．平面F1H1H与平面FHE1‎ D．平面E1HG1与平面EH‎1G 解析：如图，∵EG∥E‎1G1，EG⊄平面E1FG1，E‎1G1⊂平面E1FG1，‎ ‎∴EG∥平面E1FG1.‎ 又G‎1F∥H1E，‎ 同理可证H1E∥平面E1FG1，‎ 又H1E∩EG＝E，H1E，‎ EG⊂平面EGH1，‎ ‎∴平面E1FG1∥平面EGH1.‎ ‎4．P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′A′A＝23，则S△A′B′C′S ‎△ABC＝.‎ 解析：如图所示△A′B′C′∽△ABC，‎ ‎∴＝2＝2＝.‎