高中数学第一章空间向量与立体几何1-1-2空间向量基本定理课件新人教B版选择性必修第一册 1 43页

1 . 1 . 2 　 空间向量基本定理 核心 素养 1 . 理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义 . ( 数学抽象 ) 2 . 熟记基底、基向量的概念 . 会选择恰当的基底表示空间向量 . ( 数学抽象 ) 3 . 会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决空间几何中的简单问题 . ( 逻辑推理 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 “ 道生一 , 一生二 , 二生三 , 三生万物 ” 这句话出自老子《道德经》第四十二章 . 《说文解字》有对这句话的注释 . 首先确认 “ 一 ” 是地平线 , 然后进一步确定 :“ 一生二 ” 是指由地平线延伸出天和地两个平面 ;“ 二生三 ” 是指天、地分开后 , 形成中间的 “ 空 ”;“ 三生万物 ” 则是指万物生长于天地之间的 “ 空 ” . 因此 , 古人观察地平线、天地和万物的存在状态 , 最后总结成 “ 一生二 , 二生三 , 三生万物 ” 这句话 . 联系一下我们学过的平面向量基本定理 , 可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量 ; 推广到三维空间 , 仍然为给出一组三维的基底 , 可以生成空间中的所有向量 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 平面向量中的结论 (1) 共线向量基本定理 : 如果 a ≠ 0 且 b ∥ a , 则存在唯一的实数 λ , 使得 b = λ a . (2) 平面向量基本定理 : 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线 , 则对该平面内任意一个向量 c , 存在唯一的实数对 ( x , y ), 使得 c =x a +y b . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知直角坐标平面内的两个向量 a = (1,3), b = ( m ,2 m- 3), 使得平面内的任意一个向量 c 都可以唯一的表示成 c = λ a + μ b , 则 m 的取值范围是 　　　　　　 .   解析 : 要使 c = λ a + μ b 成立 , 则只需 a 与 b 不共线 , 即只需 满足 即 3 m ≠2 m- 3, 故 m ≠ - 3 . 答案 : { m|m ≠ - 3} 激趣诱思 知识点拨 2 . 空间中的共线向量基本定理 两个空间向量 a , b , 如果 a ≠ 0 , 且 b ∥ a , 则 存在唯一 的实数 λ , 难得 b = λ a . 激趣诱思 知识点拨 微判断 两个有公共终点的向量 , 一定是共线向量 . ( 　　 ) 答案 : × 微练习 已知向量 a , b 不共线 , p =k a + b , q = a -k 2 b , 若 p , q 共线 , 则 k 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 　　　　　 B.1 　　　　　 C. - 1 　　　　　 D.2 解析 : 若 p , q 共线 , 则存在唯一的实数 x , 使 p =x q , 即 k a + b =x a -xk 2 b , 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 3 . 共面向量定理 如果两个向量 a , b 不共线 , 则向量 a , b , c 共面的充要条件是 , 存在唯一的实数对 ( x , y ), 使 c =x a +y b . 名师点析 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1) 向量表示 : 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合 , 即若 p =x a +y b , 则向量 p , a , b 共面 . (2) 若存在有序实数组 ( x , y , z ) 使得对于空间任一点 O , 及不共线的三点 A , B , C , 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 若 p 与 a , b 共面 , 则 p= x a +y b . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 　 (3)× 微思考 向量与平面平行和直线与平面平行相同吗 ? 提示 : 不相同 . 向量与平面平行 , 向量所在直线可以在平面内 , 而直线与平面平行时 , 两者是无公共点的 . 激趣诱思 知识点拨 4 . 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a , b , c 不共面 , 那么对空间中的任意一个向量 p , 存在 唯一 的有序实数组 ( x , y , z ), 使得 p =x a +y b +z c . 其中 , 空间中不共面的三个向量 a , b , c 组成的集合 { a , b , c }, 常称为空间向量的一组基底 . 此时 , a , b , c 都称为基向量 ; 如果 p= x a +y b +z c , 则称 x a +y b +z c 为 p 在基底 { a , b , c } 下的分解式 . 名师点析 (1) 任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底 ; 任意一组空间的基底都可生成空间的所有向量 ; 每一个空间向量都可被分解到任意一组基底中基向量的三个不同方向 ; 同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 . ( 　　 ) (2) 若 { a , b , c } 为空间的一组基底 , 则 a , b , c 全不是零向量 . ( 　　 ) (3) 如果向量 a , b 与任何向量都不能构成空间的一组基底 , 则一定有 a 与 b 共线 . ( 　　 ) (4) 任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4)× 激趣诱思 知识点拨 微 练习 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量共线的判定 例 1 如图 , 在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , M , N 分别是 C 1 D 1 , AB 的中点 , E 在 AA 1 上且 AE= 2 EA 1 , F 在 CC 1 上且 CF = 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量共面问题 例 2 如 图所示 , 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直 , 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明空间三向量共面或四点共面的方法 向量表示 : 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合 , 即若 p =x a +y b , 则向量 p , a , b 共面 . 对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题 , 如 , 本例中当 MN 和 CD 、 DE 没有关联的 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 基底的 判断 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 空间向量有无数组基底 . 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底 , 关键是要判断它们是否共面 , 如果从正面难以入手 , 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断 . 比如此例中将能否构成基底问题转化为一个方程组的解的讨论 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 用基底表示向量 例 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 空间中 , 任一向量都可以用一组基底表示 , 且只要基底确定 , 则表示形式是唯一的 . 2 . 用基底表示空间向量时 , 一般要结合图形 , 运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则 , 以及数乘向量的运算法则 , 逐步向基向量过渡 , 直至全部用基向量表示 . 3 . 在空间几何体中选择基底时 , 通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底 , 例如 , 在正方体、长方体、平行六面体、四面体中 , 一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量基本定理的应用 例 5 如图所示 , 已知矩形 ABCD , P 为平面 ABCD 外一点 , 且 PA ⊥ 平面 ABCD , M , N 分别为 PC , PD 上的点 , 且 PM ∶ MC= 2 ∶ 1, N 为 PD 中点 , 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 选定空间中不共面的三个向量作基向量 , 并用它们表示出指定的向量 , 是用向量解决立体几何问题的一项基本功 . 要结合已知和所求 , 观察图形 , 联想相关的运算法则和公式等 , 就近表示所需向量 , 再对照目标 , 将不符合目标要求的向量当作新的所需向量 , 如此继续下去 , 直到所有向量都符合目标要求为止 . 这就是向量的分解 , 空间向量基本定理表明 , 用空间三个不共面的向量组 { a , b , c } 可以表示出任意一个向量 , 而且 a , b , c 的系数是唯一的 . 正是利用唯一性 , 本例中当 把 利用 基底表示出来后 , 就能形成一一对应 , 进而得到 x , y , z 的值 . 本例中基底是明确的 , 但要灵活运用线性运算朝着基底转化是关键 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5 三射线 AB , BC , BB 1 不共面 , 若四边形 BB 1 A 1 A 和 四边形 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 思维拓展 —— 空间向量基本定理的体积形式 案例 若 P 为空间四面体 A-BCD 内的任一点 , V B , V C , V D , V 分别表示四面体 P-ACD , 四面体 P-ABD , 四面体 P-ABC , 四面体 A-BCD 的体积 , 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1 . 设 p : a , b , c 是三个非零向量 ; q :{ a , b , c } 为空间的一组基底 , 则 p 是 q 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 : 当非零向量 a , b , c 不共面时 ,{ a , b , c } 可以当基底 , 否则不能当基底 , 当 { a , b , c } 为基底时 , 一定有 a , b , c 为非零向量 . 因此 p q , q ⇒ p. 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2 . 下列条件中 , 使 M 与 A , B , C 一定共面的是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A. P ∈ 直线 AB B. P ∉ 直线 AB C. O , A , B , P 四点共面 D. P , A , B 三点共线 答案 : ACD 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4 . 有下列命题 : 答案 : ②③ 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测