2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 章末综合提升 13页

www.ks5u.com ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ ‎(教师独具)‎ 圆锥曲线的定义及应用 ‎【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)‎ A．椭圆　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 ‎(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.‎ ‎(1)C　(2)60°　[(1)把轨迹方程5 ‎＝|3x＋4y－12|写成＝.‎ ‎∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．‎ ‎(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，‎ 化简为－＝1，‎ 即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，‎ 解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，‎ 由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，‎ 又已知m·n＝64，‎ 在△PF1F2中，由余弦定理知 cos∠F1PF2＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以∠F1PF2＝60°.]‎ ‎“回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；‎ 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；‎ 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．‎ 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．若A(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．‎ 　[设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，‎ ‎∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，‎ 当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为3＋＝.]‎ 圆锥曲线的方程 ‎【例2】　(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎(2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b.若|AB|＝2，求椭圆的方程．‎ ‎(1)C　[法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.‎ 法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.]‎ ‎(2)[解]　由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.‎ ‎∵|AB|＝2，∴·＝2，‎ 即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.‎ 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．‎ ‎(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．‎ ‎(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．‎ ‎(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．(1)以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是(　　)‎ A．y2－＝1 B．x2－＝1‎ C．－y2＝1 D．－x2＝1‎ ‎(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．‎ ‎(1)D　[设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，‎ 因为焦点在y轴上，所以方程可化为－＝1，‎ 由条件可知－λ－＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x2－y2＝－3，即－x2＝1.]‎ ‎(2)[解]　由已知得＝2，所以＝4，解得＝，‎ 即双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，‎ 可设A，B，‎ 从而△AOB的面积为·p·＝，解得p＝2或p＝－2(舍)．‎ 所以抛物线的标准方程为y2＝4x.‎ 圆锥曲线性质及应用 ‎【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎(2)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B． C． D． ‎[思路探究]　(1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解；‎ ‎(2)根据弦长建立方程，求解．‎ ‎(1)D　(2)A　[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①‎ 直线PF2的方程为y＝(x－c)．②‎ 联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)，‎ 如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．‎ 因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，‎ PH＝·(a＋c)，‎ 所以sin 60°＝＝＝，‎ 即a＋c＝5c，即a＝4c，‎ 所以e＝＝.故选D.‎ ‎(2)由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝.故离心率e＝＝2.故选A.]‎ 求解离心率的三种方法 ‎(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．‎ ‎(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．‎ ‎(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．‎ ‎1．本例(2)条件改为“双曲线左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，求C的离心率．”‎ ‎[解]　点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离|PF2|＝＝b(b＞0)，而|OF2|＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得|OP|＝＝a，‎ 所以|PF1|＝|OP|＝a.‎ 在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝＝，‎ 在△F1F2P中，‎ cos∠PF2O＝ ‎＝，‎ 所以＝⇒3b2＝4c2－6a2，‎ 则有3(c2－a2)＝4c2－6a2，‎ 解得＝(负值舍去)，‎ 即e＝.‎ ‎2．本例(2)条件改为“双曲线的一条渐近线经过(3，－4)，求其离心率”．‎ ‎[解]　由条件知双曲线的焦点在x轴上，‎ ‎∴渐近线方程为y＝±x，把(3，－4)代入y＝－x，‎ 得－4＝－×3，∴＝.‎ ‎∴离心率e＝＝＝.‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎[探究问题]‎ ‎1．直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题．‎ ‎[提示]　公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题．‎ ‎2．圆锥曲线中如何处理定点问题？‎ ‎[提示]　①引进参数法．引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎②特殊到一般法．根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎ ‎【例4】　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2,0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过 定点，并求出定点坐标．‎ ‎[思路探究]　(1)由椭圆右顶点的坐标为A(2,0)，离心率e＝，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，易得m＝，当直线MN斜率存在时，直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，由·＝0可得b＝－k，从而得证．‎ ‎[解]　(1)右顶点是A(2,0)，离心率为，所以a＝2，＝，∴c＝1，则b＝，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，‎ 与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2，‎ 设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|，‎ 即＝2－m，‎ ‎∴m＝或m＝2(舍)，∴直线m过定点；‎ 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得 ‎(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，‎ x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，‎ Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，‎ ·＝0，则(x1－2，y1)(x2－2，y2)＝0，‎ 即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴7b2＋4k2＋16kb＝0，‎ ‎∴b＝－k或b＝－2k，‎ ‎∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，‎ ‎∴直线过定点或(2,0)舍去；综上知直线过定点.‎ ‎1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．‎ ‎(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．‎ ‎2．圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎3.已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)过焦点F2的直线l交椭圆E于A，B两点，满足⊥，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意，椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为2，‎ 可得c＝1，b＝2，则a＝＝，所以椭圆E的标准方程＋＝1；‎ ‎(2)由题意知直线l与x轴不重合，设直线l：x＝ny＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立方程组 ，整理得(4n2＋5)y2＋8ny－16＝0，‎ 可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ 又由⊥，则·＝0，得(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝0，‎ 代入直线可得(ny1＋2，y1)·(ny2＋2，y2)＝0，即 ‎(n2＋1)y1y2＋2n(y1＋y2)＋4＝0，‎ 代入可得(n2＋1)＋2n×＋4＝0，解得n2＝，‎ 所以直线l的方程为x＝±y＋1，‎ 即直线l的方程为：2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.‎ ‎[培优层·素养升华]‎ ‎【例】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且与抛物线y2＝x交于M，N两点，△OMN(O为坐标原点)的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，F1，F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[思路探究]　(1)由题意求得a，b，c的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系和均值不等式即可确定三角形面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝x交于M，N两点，‎ 可设M(x，)，N(x，－)，∵△OMN的面积为2，‎ ‎∴x＝2，解得x＝2，∴M(2，), N(2，－)，‎ 由已知得，解得a＝2，b＝2，c＝2，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(2，)，B(2，－)，C(－2，－)，故S△ABC＝×2×4＝4；‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立方程，化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－8＝0，‎ 则Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－8)＝32(k2＋1)＞0，‎ x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ ‎|AB|＝ ‎＝ ‎＝4·，‎ 点O到直线kx－y－2k＝0的距离d＝＝，‎ 因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d＝，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·2d＝··＝8·.‎ ‎∵＝≤＝，又k2≠k2＋1，所以等号不成立．‎ ‎∴S△ABC＝8·＜4，‎ 综上，△ABC面积的最大值为4.‎ ‎(1)本题属于直线与圆锥曲线的综合问题．这类题目常出现在高考题的压轴题位置．难度属于中难程度．‎ ‎(2)本题以椭圆为载体，考查了直线及椭圆与数学运算能力、逻辑推理能力．‎ ‎(3)解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若过点(－3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求·的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以2b＝2，‎ 所以b＝1，‎ 又椭圆C的离心率为，所以＝＝＝，‎ 解得a＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题可设直线l的方程为y＝k(x＋3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 将y＝k(x＋3)代入＋y2＝1，消去y可得 ‎(1＋4k2)x2＋24k2x＋36k2－4＝0，‎ 所以Δ＝(24k2)2－4×(1＋4k2)(36k2－4)＞0，即k2＜，‎ 且x1＋x2＝－，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k(x1＋3)·k(x2＋3)＝(1＋k2)x1x2＋3k2(x1＋x2)＋9k2＝(1＋k2)·＋3k2·＋9k2＝＝－4＋，‎ 因为0≤k2＜，所以0≤＜，所以－4≤－4＋＜，‎ 所以·的取值范围是.‎