高中数学必修4知识总结(完整版) 7页

高中数学必修四知识点总结    正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几 象限角．第一象限角的集合为 360 360 90 ,k k k         第二象限角的集合为 360 90 360 180 ,k k k          第三象限角的集合为 360 180 360 270 ,k k k           第四象限角的集合为 360 270 360 360 ,k k k           终边在 x 轴上的角的集合为 180 ,k k     终边在 y 轴上的角的集合为 180 90 ,k k       终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,k k     3、与角 终边相同的角的集合为 360 ,k k      4、已知 是第几象限角，确定  *nn   所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 x 轴的正 半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 n  终边 所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r   ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360   ，1 180  ， 1801 57.3        ． 8、若扇形的圆心角为   为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l ，周长为C ，面积为 S ， 则l r  ， 2C r l  ， 21 1 2 2S lr r  ． 9、（一）设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ( , )P x y ,那么:(1) y 叫做 的正弦,记做sin , 即sin y  ；（2） x 叫做 的余弦,记做cos ,即cos x  ；（3） y x 叫做 的正切,记做 tan ,即 tan ( 0)y xx    。 （二）设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点的坐标是 ,x y ，它与原点的距离是 P v x y AO M T  2 2 0r r x y   ，则sin y r   ，cos x r   ，  tan 0y xx    ． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象 限余弦为正． 11、三角函数线：sin   ，cos   ， tan   ． 12、同角三角函数的基本关系式：   2 21 sin cos 1    2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin       ；   sin2 tancos    sinsin tan cos ,cos tan           ． 13、三角函数的诱导公式：    1 sin 2 sink    ，  cos 2 cosk    ，    tan 2 tank k     ．    2 sin sin     ，  cos cos     ，  tan tan    ．    3 sin sin    ，  cos cos   ，  tan tan    ．    4 sin sin    ，  cos cos     ，  tan tan     ． 口诀：函数名称不变，符号看象限．  5 sin cos2        ，cos sin2        ． 6 sin cos2        ，cos sin2         ． 口诀：函数名改变，符号看象限． 14、图像变换的两种方式： （一）函数 siny x 的图象上所有点向左（右）平移  个单位长度，得到函数  siny x   的图象 （ >0 是左移； <0 是右移）；再将函数  siny x   的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原 来的 1  倍（纵坐标不变），得到函数  siny x   的图象；再将函数  siny x   的图象上所有 点的纵坐标伸长（缩短）到原来的  倍（横坐标不变），得到函数  siny x    的图象  0, 0   ． （二）函数 siny x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1  倍（纵坐标不变），得到函 数 siny x 的图象；再将函数 siny x 的图象上所有点向左（右）平移   个单位长度（ >0 是 左移； <0 是右移）；得到函数  siny x   的图象；再将函数  siny x   的图象上所有点的 纵坐标伸长（缩短）到原来的  倍（横坐标不变），得到函数  siny x    的图象 0, 0   ． 函数   sin 0, 0y x        的性质： ①振幅  ； ②周期： 2   ； ③频率： 1 2f    ； ④相位： x  ； ⑤初相： ． 函数  siny x      ，当 1x x 时，取得最小值为 miny ；当 2x x 时，取得最大值为 maxy ，则  max min 1 2 y y   ，  max min 1 2 y y   ，  2 1 1 22 x x x x    ． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： siny x cosy x tany x 图象 定义域 R R ,2x x k k       值域  1,1  1,1 R 最值 当 2 2x k    k  时， max 1y  ；当 2 2x k    k  时， min 1y   ． 当  2x k k  时， max 1y  ；当 2x k    k  时， min 1y   ． 既无最大值也无最小值 周期 2 2  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2 ,22 2k k        k  上是增函数；在 32 ,22 2k k        k  上是减函数． 在  2 ,2k k k    上是 增函数；在 2 ,2k k    k  上是减函数． 在 ,2 2k k        k  上是增函数． 对称性 对称中心  ,0k k  对称轴  2x k k   对称中心  ,02k k     对称轴  x k k  对称中心  ,02 k k     无对称轴 16.三角函数奇偶性规律总结（ 0, 0A   ） 函数 sin( )y A x   为奇函数的条件为 ,k k Z   函 数性 质 函数 sin( )y A x   为偶函数的条件为 ,2k k Z    函数 cos( )y A x   为奇函数的条件为 ,2k k Z    . 函数 cos( )y A x   为偶函数的条件为 ,k k Z   函数 tan( )y A x   为奇函数的条件为 ,2 k k Z   它不可能是偶函数． 17．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量． 规定：零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量． 18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b         ． ⑷运算性质：①交换律： a b b a     ； ②结合律：   a b c a b c         ； ③ 0 0a a a       ． ⑸坐标运算：设  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则  1 2 1 2,a b x x y y    ． 19、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点．（见上图） ⑵坐标运算：设  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则  1 2 1 2,a b x x y y    ． 设  、 两点的坐标分别为 1 1,x y ， 2 2,x y ，则  1 2 1 2,x x y y    ． 20、向量数乘运算： ⑴实数 与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a  ． ① a a   ；②当 0  时， a  的方向与 a 的方向相同；当 0  时， a  的方向与 a 的方向相反； 当 0  时， 0a   ．0 a =0 ⑵运算律： ①    a a    ； ② a a a        ； ③  a b a b       ． ⑶坐标运算：设  ,a x y ，则    , ,a x y x y     ． (4) 0, a aa a aa a      则 表示与 同方向的单位向量，- 表示与 反方向的单位向量。 21 向量共线条件：(1)向量  0a a    与b  共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b a  ． b  a C   a b C C         (2)共线的坐标表示，设  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，其中 0b   ，则当且仅当 1 2 2 1 0x y x y  时，向量 a 、  0b b    共线． 22、平面向量基本定理：如果 1e  、 2e  是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 1 1 2 2a e e    ．（不共线的向量 1e  、 2e  叫做这一平面内所 有向量的一组基底） 小结论：（1）若 1e  、 2e  是同一平面内的两个不共线向量， 1 2 1 2 , x=m y=nxe ye me ne      则 ， （2）若 1e  、 2e  是同一平面内的两个不共线向量， 1 2 0, x=y=0xe ye   则 23、分点坐标公式：设点 是线段 1 2  上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 1 1,x y ， 2 2,x y ，当 1 2     时，可推出点的坐标是 1 2 1 2,1 1 x x y y           ．（会写出向量坐标，会运算。） 24、平面向量的数量积： ⑴定义：  cos 0, 0,0 180a b a b a b             ．零向量与任一向量的数量积为0 ． cosa  ： a 在b  方向上的投影 cosb  ：b  在 a 方向上的投影 注意：务必要算对两个非零向量的夹角：设两个非零向量 a OA  与b OB  , 称 AOB   为向量 a 与b  的夹 角 (0 180 )   ，注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。 ⑵性质：设 a 和b  都是非零向量，则① 0a b a b      ． ②当 a 与b  同向时， a b a b    ；当 a 与b  反向时， a b a b     ； 22a a a a      或 a a a    ． ③ a b a b    ． ⑶运算律：① a b b a     ；②     a b a b a b           ；③ a b c a c b c           ． ⑷坐标运算：设两个非零向量  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则 1 2 1 2a b x x y y   ． （5）若  ,a x y ，则 2 2 2a x y  ，或 2 2a x y  ． （6）设  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则 1 2 1 2 0a b x x y y    ． , ( R), ) =(1-t) , OA OB AP t AB t OAOB OP OP OA OB OA OP OA tOB O A B P AB OP mOA nOB                         如图， 、 不共线 且 用 ， 表示 ； =t( ，则 结论：已知 、 、 三点不共线， 若点 在直线 上，则 且 1.m n  （7）设 a 、b  都是非零向量，  1 1,a x y ，  2 2,b x y ， 是a与b  的夹角， 则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y        ． 25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴  cos cos cos sin sin        ；⑵  cos cos cos sin sin        ； ⑶  sin sin cos cos sin        ；⑷  sin sin cos cos sin        ； ⑸   tan tantan 1 tan tan         变形：（   tan tan tan 1 tan tan         ）； ⑹   tan tantan 1 tan tan         变形：（   tan tan tan 1 tan tan         ）． 26、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2 2sin cos   ． 变形： 1sin cos sin 22    ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin (cos sin )(cos sin )                 变形得到降幂公式： 2 1 cos2cos 2   ， 2 1 cos2sin 2   ． 2 1 cos2tan 1 cos2     ⑶ 2 2tantan2 1 tan    ． 27、  2 2sin cos sin           ，其中 tan   ． sin 2 1 cos2tan 1 cos2 sin 2       [2010 高考题解析，规范解题步骤]已知函数    21 1sin 2 sin cos cos sin 02 2 2f x x x            ＜ ＜ ， 其图象过点（ π 6 , 1 2 ）．（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）将函数  y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标 不变，得到函数  y f x 的图象，求函数  g x 在[0, π 4 ]上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为 21 1( ) sin 2 sin cos cos sin( )2 2 2f x x x       (0 )   所以 1 1 cos2 1( ) sin 2 sin cos cos2 2 2 xf x x      1 1sin 2 sin cos2 cos2 2 1 (sin 2 sin cos2 cos )2 1 cos(2 )2 x x x x x            又 函数图像过点 1( , )6 2  所以 1 1 cos(2 )2 2 6     即 cos( ) 13    又 0    所以 3   （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 1( ) cos(2 )2 3f x x   ，将函数 ( )y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标 不变，得到函数 ( )y g x 的图像，可知 1( ) (2 ) cos(4 )2 3g x f x x    因为 [0, ]4x  所以 4 [0, ]x  因此 24 [ , ]3 3 3x      故 1 cos(4 ) 12 3x     所以 ( )y g x 在[0, ]4  上的最大值和最小值分别为 1 2 和 1 4  为什么要学习数学？ ——数学来源于生活，生活离不开数学。数学对个人，社会，世界都会产生影响！ 数学与人类文明一样古老，有文明就一定有数学。数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切 的关系，解决着各种各样的问题：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库的建造，丈量 土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文明的进步，数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学 领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系。近代以来，数学又进入了人文科学领域，并使人文科学 的数学化成为一种强大的趋势。 当今社会，数学的发展，计算机技术的广泛应用，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。从 卫星到核电站，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并 借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处 理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许 多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多 成果，又悄悄的遍布在我们身边，改变着我们的生活方式。可以说数学对现代社会已产生了深远的影响，我们生 活在数学的时代。数学对社会发展的影响，一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用，同时，也反映出在未 来社会中，社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质。