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  • 2021-06-24 发布

高中数学人教a版必修五第二章数列学业分层测评12word版含答案

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学业分层测评(十二) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.2+ 3与 2- 3的等比中项是( ) A.1 B.-1 C.±1 D.2 【解析】 2+ 3与 2- 3的等比中项为 G=± 2+ 32- 3=±1,故选 C. 【答案】 C 2.在等比数列{an}中,a2 016=8a2 015,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 【解析】 因为 a2 016=8a2 015, 所以 a1q2 015=8a1·q2 014, 解得 q=8. 【答案】 D 3.已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么-13 1 2 是此数列的 ( ) A.第 2 项 B.第 4 项 C.第 6 项 D.第 8 项 【解析】 由 x,2x+2,3x+3 成等比数列, 可知(2x+2)2=x(3x+3),解得 x=-1 或-4,又当 x=-1 时,2x+2=0,这 与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4, ∴该数列是首项为-4,公比为3 2 的等比数列,其通项 an=-4 3 2 n-1,由-4 3 2 n -1=-131 2 ,得 n=4. 【答案】 B 4.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2-2x+3 的顶点坐标是(b,c), 则 ad 等于( ) A.3 B.2 C.1 D.-2 【解析】 由 y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 得 b=1,c=2. 又 a,b,c,d 成等比数列,即 a,1,2,d 成等比数列, 所以 d=4,a=1 2 ,故 ad=4×1 2 =2. 【答案】 B 5.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5 +a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 【解析】 ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21, ∴1+q2+q4=7,解得 q2=2 或 q2=-3(舍去). ∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6.已知等比数列{an}中,a1=2,且 a4a6=4a27,则 a3= . 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q,由已知条件得 a25=4·a25q4. ∴q4=1 4 ,q2=1 2 , ∴a3=a1q2=2×1 2 =1. 【答案】 1 7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an= . 【解析】 由已知得a10 a3 =a1q9 a1q2 =q7=128=27,故 q=2. 所以 an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3. 【答案】 3×2n-3 8.在等比数列{an}中,an>0,且 a1+a2=1,a3+a4=9,则 a4+a5= . 【解析】 由已知 a1+a2=1,a3+a4=9, ∴q2=9.∴q=3(q=-3 舍), ∴a4+a5=(a3+a4)q=27. 【答案】 27 三、解答题 9.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且 a2·a5= 8 27. (1)求数列{an}的通项公式; (2)-16 81 是否为该数列的项?若是,为第几项? 【解】 (1)因为 2an=3an+1, 所以an+1 an =2 3 ,数列{an}是公比为2 3 的等比数列,又 a2·a5= 8 27 , 所以 a21 2 3 5= 2 3 3,由于各项均为负, 故 a1=-3 2 ,an=- 2 3 n-2. (2)设 an=-16 81 ,则-16 81 =- 2 3 n-2, 2 3 n-2= 2 3 4,n=6,所以-16 81 是该数列的 项,为第 6 项. 10.数列{an},{bn}满足下列条件:a1=0,a2=1,an+2=an+an+1 2 ,bn=an+1 -an. (1)求证:{bn}是等比数列; (2)求{bn}的通项公式. 【解】 (1)证明:∵2an+2=an+an+1, ∴bn+1 bn =an+2-an+1 an+1-an = an+an+1 2 -an+1 an+1-an =-1 2. ∴{bn}是等比数列. (2)∵b1=a2-a1=1,公比 q=-1 2 , ∴bn=1× -1 2 n-1= -1 2 n-1. [能力提升] 1.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1,1 2a3,2a2 成等差数列,则a6+a7 a8+a9 等于( ) A. 2+1 B.3+2 2 C.3-2 2 D.2 2-3 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q, 由于 a1,1 2a3,2a2 成等差数列, 则 2 1 2a3 =a1+2a2,即 a3=a1+2a2, 所以 a1q2=a1+2a1q. 由于 a1≠0, 所以 q2=1+2q,解得 q=1± 2. 又等比数列{an}中各项都是正数, 所以 q>0,所以 q=1+ 2. 所以a6+a7 a8+a9 =a1q5+a1q6 a1q7+a1q8 = 1 q2 = 1 1+ 22 =3-2 2. 【答案】 3-2 2 2.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=1 4 ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( ) A.2 B.1 C.1 2 D.1 8 【解析】 法一 ∵a3a5=a24,a3a5=4(a4-1),∴a24=4(a4-1), ∴a24-4a4+4=0,∴a4=2.又∵q3=a4 a1 =2 1 4 =8, ∴q=2,∴a2=a1q=1 4 ×2=1 2 ,故选 C. 法二 ∵a3a5=4(a4-1),∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1), 将 a1=1 4 代入上式并整理,得 q6-16q3+64=0, 解得 q=2, ∴a2=a1q=1 2 ,故选 C. 【答案】 C 3.(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零.若 a2,a3,a7 成等 比数列,且 2a1+a2=1,则 a1= ,d= . 【解析】 ∵a2,a3,a7 成等比数列,∴a23=a2a7, ∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即 2d+3a1=0.① 又∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1.② 由①②解得 a1=2 3 ,d=-1. 【答案】 2 3 -1 4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求 an 的表达式. 【导学号:05920070】 【解】 (1)证明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1). 由 a1=1,故 a1+1≠0, 由上式易知 an+1≠0,∴an+1+1 an+1 =2. ∴{an+1}是等比数列. (2)由(1)可知{an+1}是以 a1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴an+1=2·2n-1,即 an=2n-1.