2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章4．2 指数函数 10页

4．2 指数函数 4．2.1 指数函数的概念 学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指 数衰减型在实际问题中的应用． 知识点一 指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R. 思考 为什么底数应满足 a>0 且 a≠1? 答案 ①当 a≤0 时，ax 可能无意义；②当 a>0 时，x 可以取任何实数；③当 a＝1 时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定 y＝ax 中 a>0，且 a≠1. 知识点二 两类指数模型 1．y＝kax(k>0)，当 a>1 时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0)，当 00)是指数函数．( × ) 2．y＝ax＋2(a>0 且 a≠1)是指数函数．( × ) 3．y＝ 1 2 x 是指数衰减型函数模型．( √ ) 4．若 f(x)＝ax 为指数函数，则 a>1.( × ) 一、指数函数的概念 例 1 (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y＝2·( 2)x；②y＝2x－1；③y＝ π 2 x；④ 1 3 ;xy ＝ ⑤ 1 3 .y x＝ (2)若函数 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数，则实数 a＝________. 答案 (1)③ (2)2 解析 (1)①中指数式( 2)x 的系数不为 1，故不是指数函数；②中 y＝2x－1，指数位置不是 x， 故不是指数函数；④中指数不是 x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定 的值，故不是指数函数，故填③. (2)由 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数，可得 a2－3a＋3＝1， a>0 且 a≠1， 解得 a＝2. 反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax 前的系数是否为 1； (3)指数是否符合要求． 跟踪训练 1 (1)若函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数，则( ) A．a＝1 或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0 且 a≠1 答案 C 解析 因为函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数， 所以 a2＝1， 2－a>0， 2－a≠1， 解得 a＝－1. (2)若函数 y＝(2a－3)x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是________________． 答案 3 2 ，2 ∪(2，＋∞) 解析 由题意知 2a－3>0， 2a－3≠1， 解得 a>3 2 且 a≠2. 二、求指数函数的解析式、函数值 例 2 (1)已知函数 f(x)是指数函数，且 f －3 2 ＝ 5 25 ，则 f(3)＝________. 答案 125 解析 设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)， 由 f －3 2 ＝ 5 25 得 1 3 32 2 2 2 5 5 5 ,25 5a      所以 a＝5，即 f(x)＝5x，所以 f(3)＝53＝125. (2)已知函数 y＝f(x)，x∈R，且 f(0)＝3，f1 f0 ＝1 2 ，f2 f1 ＝1 2 ，…， fn fn－1 ＝1 2 ，n∈N*，求函数 y ＝f(x)的一个解析式． 解 当 x 增加 1 时函数值都以1 2 的衰减率衰减， ∴函数 f(x)为指数衰减型， 令 f(x)＝k 1 2 x(k≠0)， 又 f(0)＝3，∴k＝3， ∴f(x)＝3· 1 2 x. 反思感悟 解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系 数法设出函数解析式，再代入已知条件求解． 跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，且 a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则 f(－2)的值为 ________． 答案 7 解析 由已知得 a－1＋b＝5， a0＋b＝4， 解得 a＝1 2 ， b＝3， 所以 f(x)＝ 1 2 x＋3， 所以 f(－2)＝ 1 2 －2＋3＝4＋3＝7. 三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 例 3 甲、乙两城市现有人口总数都为 100 万人，甲城市人口的年自然增长率为 1.2%，乙城 市每年增长人口 1.3 万．试解答下面的问题： (1)写出两城市的人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式； (2)计算 10 年、20 年、30 年后两城市的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析． 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 解 (1)1 年后甲城市人口总数为 y 甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2 年后甲城市人口总数为 y 甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3 年后甲城市人口总数为 y 甲＝100×(1＋1.2%)3； …； x 年后甲城市人口总数为 y 甲＝100×(1＋1.2%)x. x 年后乙城市人口总数为 y 乙＝100＋1.3x. (2)10 年、20 年、30 年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示. 10 年后 20 年后 30 年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 (3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人 口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异． 反思感悟 解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时 间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)具体分析问题时，应严格计算并写出前 3～4 个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规 律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型 表示，通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式． 跟踪训练 3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到 2020 年全面建成小康 社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建 成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的 基础上，到 2020 年国内生产总值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番，产业迈向中高端水 平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高． 设从 2011 年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.下面给出了依据“到 2020 年 城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式： ①(1＋p%)×10＝2； ②(1＋p%)10＝2； ③10(1＋p%)＝2； ④1＋10×p%＝2. 其中正确的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 答案 B 解析 已知从 2011 年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%. 则由到 2020 年城乡居民人均收入比 2010 年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2； 正确的关系式为②. 1．下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3. 其中，指数函数的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 ①中，3x 的系数是 2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1 的指数是 x＋1，不是自变量 x，故②不是指数函数； ③中，y＝3x，3x 的系数是 1，指数是自变量 x，且只有 3x 一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3 中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． 所以只有③是指数函数．故选 B. 2．若函数 y＝(m2－m－1)·mx 是指数函数，则 m 等于( ) A．－1 或 2 B．－1 C．2 D.1 2 答案 C 解析 依题意，有 m2－m－1＝1， m>0 且 m≠1， 解得 m＝2(舍 m＝－1)，故选 C. 3．如表给出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为( ) x －2 －1 0 1 2 3 y 1 16 1 4 1 4 16 64 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．幂函数模型 答案 C 解析 观察数据可得 y＝4x. 4．某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…，现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系式是( ) A．y＝2x B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 答案 D 解析 分裂一次后由 2 个变成 2×2＝22(个)，分裂两次后变成 4×2＝23(个)，…，分裂 x 次后 变成 y＝2x＋1(个)． 5．f(x)为指数函数，若 f(x)过点(－2,4)，则 f(f(－1))＝________. 答案 1 4 解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)， 所以 f(－2)＝4，a－2＝4，解得 a＝1 2 ， 所以 f(x)＝ 1 2 x， 所以 f(－1)＝ 1 2 －1＝2， 所以 f(f(－1))＝f(2)＝ 1 2 2＝1 4. 1．知识清单： (1)指数函数的定义． (2)指数增长型和指数衰减型函数模型． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：易忽视底数 a 的限制条件：a>0 且 a≠1. 1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y＝ 1 2 x－1； ②y＝ax(a>0，且 a≠1)； ③y＝1x； ④y＝ 1 2 2x－1. A．0 B．1 C．3 D．4 答案 B 解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．若函数 f(x)＝ 1 2a－3 ·ax 是指数函数，则 f 1 2 的值为( ) A．2 B．－2 C．－2 2 D．2 2 答案 D 解析 因为函数 f(x)是指数函数， 所以 1 2a－3＝1，所以 a＝8， 所以 f(x)＝8x，f 1 2 ＝ 1 28 ＝2 2. 3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数 y＝kax(k∈R，a>0 且 a≠1)的模型的是( ) A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不 计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为 1%时，我国人口总数与年份的关系 C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 D．信件的邮资与其重量间的函数关系 答案 B 解析 A 中的函数模型是二次函数； B 中的函数模型是指数型函数； C 中的函数模型是反比例函数； D 中的函数模型是一次函数．故选 B. 4．据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按 此规律，设 2019 年的湖水量为 m，从 2019 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为( ) A．y＝ 500.9 x B．y＝(1－ 500.1 x )m C．y＝ 500.9 x m D．y＝(1－0.150x)m 答案 C 解析 方法一 设每年的衰减率为 q%， 则(q%)50＝0.9， 所以 q%＝ 1 500.9 ， 所以 x 年后的湖水量 y＝ 500.9 x m. 方法二 设每年的衰减率为 q%， 则(1－q%)50＝0.9，所以 q%＝1－ 1 500.9 ， 所以 y＝m·[1－(1－ 1 500.9 )]x＝ 500.9 x m. 5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是( ) 答案 C 解析 A 为一次函数；B 为反比例函数；D 为二次函数；选项 C 的图象呈指数衰减，是指数 衰减型函数模型，故选 C. 6．已知函数 f(x)＝ 2 ax－1 ＋3(a>0 且 a≠1)，若 f(1)＝4，则 f(－1)＝________. 答案 0 解析 由 f(1)＝4 得 a＝3，把 x＝－1 代入 f(x)＝ 2 3x－1 ＋3 得到 f(－1)＝0. 7．若函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x 是指数函数，则 a＝________. 答案 1 解析 由指数函数的定义得 a2－2a＋2＝1， a＋1>0， a＋1≠1， 解得 a＝1. 8．已知某种放射性物质经过 100 年剩余质量是原来质量的 95.76%，设质量为 1 的这种物质， 经过 x 年后剩余质量为 y，则 x，y 之间的关系式是________． 答案 y＝ 1000.957 6 x 解析 设质量为 1 的物质 1 年后剩余质量为 a， 则 a100＝0.957 6. 所以 a＝ 1 1000.957 6 ， 所以 y＝ax＝ 1000.957 6 x . 9．已知函数 f(x)＝2x＋2ax＋b，且 f(1)＝5 2 ，f(2)＝17 4 .求 a，b 的值． 解 由题意得 5 2 ＝2＋2a＋b， 17 4 ＝22＋22a＋b， 即 2－1＝2a＋b， 2－2＝22a＋b， 所以 a＋b＝－1， 2a＋b＝－2， 解得 a＝－1， b＝0. 10．有一种树栽植 5 年后可成材．在栽植后 5 年内，该种树的产量年增长率为 20%，如果不 砍伐，从第 6 年到第 10 年，该种树的产量年增长率为 10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植 5 年后不砍伐，等到 10 年后砍伐． 乙方案：栽植 5 年后砍伐重栽，然后过 5 年再砍伐一次． 请计算后回答：10 年内哪一个方案可以得到较多的木材？ 解 设该种树的最初栽植量为 a，甲方案在 10 年后的木材产量为 y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5 ＝a(1.2×1.1)5≈4.01a. 乙方案在 10 年后的木材产量为 y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a. y1－y2＝4.01a－4.98a<0， 因此，乙方案能获得更多的木材． 11．已知函数 f(x)＝ 1－x 1 2  ，x>0， 2x，x≤0， 则 f f 1 9 等于( ) A．4 B.1 4 C．－4 D．－1 4 答案 B 解析 ∵f 1 9 ＝1－ 1 9 1 2  ＝1－3＝－2， ∴f f 1 9 ＝f(－2)＝2－2＝1 4. 12．某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易日，平均每天上涨 5%，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到 元)为( ) A．赚 723 元 B．赚 145 元 C．亏 145 元 D．亏 723 元 答案 D 解析 由题意得 10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5 ≈10×0.992 77＝9.927 7； 100 000－99 277＝723， 故股民亏 723 元，故选 D. 13．若函数 y＝(m2－5m＋5) 2－m 3 x 是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数 m＝ ________. 答案 1 解析 依题意知 m2－5m＋5＝1， 2－m 3>1， 解得 m＝1(舍 m＝4)． 14．已知函数 f(x)为指数函数且 f －3 2 ＝ 3 9 ，则 f(－2)＝________，f(f(－1))＝________. 答案 1 9 3 3 解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)， ∴ 3 2a  ＝ 3 9 ＝ 3 23  ，∴a＝3， ∵f(x)＝3x，∴f(－2)＝1 9 ， f(f(－1))＝f 1 3 ＝ 1 33 ＝ 3 3. 15．某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增 加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年 9 月份两食堂 的营业额又相等，则该年 5 月份( ) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相等 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案 A 解析 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的营业额每月增加 a(a>0)，乙食堂的 营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m＋8a＝m(1＋x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1 ＝m＋4a，乙食堂的营业额 y2＝m(1＋x)4＝ mm＋8a，因为 y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝ 16a2>0，所以 y1>y2，故该年 5 月份甲食堂的营业额较高． 16．某公司拟投资 100 万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率 10%，按单利计算， 5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后收回本金和利息．哪 一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年后可多得利息多少元？ 解 ①本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算，5 年后的本利和是 100×(1＋10%×5)＝150(万 元)．②本金 100 万元，年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后的本利和是 100×(1＋ 9%)5≈153.86(万元)．由①②可见，按年利率 9%每年复利一次计算的，要比按年利率 10%单 利计算的更有利，5 年后可多得利息 3.86 万元．