人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1-2-1-2-2绝对不等式的解法word版含解析 6页

第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式|3x－2|＞4 的解集是( ) A.{x|x＞2} B. x|x＜－2 3 C. x|x＜－2 3 或 x＞2 D. x|－2 3 ＜x＜2 解析：由|3x－2|＞4 得 3x－2＞4 或 3x－2＜－4 所以 x＞2 或 x＜－2 3. 答案：C 2．(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2 的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1，4) D．(1，5) 解析：法一：当 x＜1 时，原不等式化为 1－x－(5－x)＜2 即－4 ＜2，不等式恒成立；当 1≤x＜5 时，原不等式即 x－1－(5－x)＜2， 解得 x＜4；当 x≥5 时，原不等式化为 x－1－(x－5)＜2 即 4＜2，显然 不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)． 法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点 x 到 1，5 两点(距离 为 4)的距离之差小于 2 的点满足 x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)． 答案：A 3．(2015·天津卷)设 x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为|x－2|＜1 等价于 1＜x＜3，x2＋x－2＞0 等价于 x＜－2 或 x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件． 答案：A 4．若不等式|x－1|＜a 成立的充分条件是 0＜x＜4，则实数 a 的取 值范围是( ) A．a≥1 B．a≥3 C．a≤1 D．a≤3 解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得 选 B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除． 答案：B 5．如果关于 x 的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1 的解集是全体实数，则 实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，3]∪5，＋∞) B．－5，－3] C．3，5] D．(－∞，－5]∪－3，＋∞) 解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知 a≤－5 或 a≥－3. 答案：D 二、填空题 6．若不等式|kx－4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3}，则实数 k＝______． 解析：法一：由|kx－4|≤2 可得－2≤kx－4≤2， 即 2≤kx≤6，又 1≤x≤3，所以 k＝2. 法二：由题意可知 x＝1，x＝3 是|kx－4|＝2 的两根，则 |k－4|＝2， |3k－4|＝2， 解得 k＝2. 答案：2 7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4 a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 解析：当 a＜0 时，显然成立； 因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为 4，所以 a＋4 a ≤4.所以 a＝2， 综上可知 a∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2} 8．若关于 x 的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a 的解集是∅，则 a 的取值范 围是________． 解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以 a＜3. 答案：a＜3 三、解答题 9．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝|2x－a|∈a. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设 f(x)＝|2x－1|，当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求实数 a 的取值 范围． 解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． 当 x∈R 时， f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋1|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a. 所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a＞1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是 2，＋∞)． 10．已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a，m 的值； (2)当 a＝2 且 t≥0 时，解关于 x 的不等式 f(x)＋t≥f(x＋2t)． 解：(1)由|x－a|≤m 得 a－m≤x≤a＋m， 所以 a－m＝－1， a＋m＝5， 解得 a＝2， m＝3. (2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|， 所以 f(x)＋t≥f(x＋2t)， 所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t. 当 t＝0 时，不等式恒成立，即 x∈R； 当 t＞0 时，不等式等价于 x＜2－2t， 2－2t－x－（2－x）≤t 或 2－2t≤x＜2， x－2＋2t－（2－x）≤t 或 x≥2， x－2＋2t－（x－2）≤t， 解得 x＜2－2t 或 2－2t≤x≤2－t 2 或 x∈∅， 即 x≤2－t 2. 综上所述，当 t＝0 时，原不等式的解集为 R； 当 t＞0 时，原不等式的解集为 x|x≤2－t 2 . B 级 能力提升 1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞) C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞) 解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为 4， 所以 a2－3a≥4 恒成立，即 a≥4 或 a≤－1. 答案：A 2．(2015·重庆卷)若 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为 5，则实数 a ＝________． 解析：当 a≤－1 时， f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝ －3x＋2a－1，x＜a， x－2a－1，a≤x≤－1， 3x－2a＋1，x＞－1， 所以 f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 则 f(x)在 x＝a 处取得最小值 f(a)＝－a－1， 由－a－1＝5 得 a＝－6，符合 a≤－1； 当 a＞－1 时， f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝ －3x＋2a－1，x＜－1， －x＋2a＋1，－1≤x≤a， 3x－2a＋1，x＞a. 所以 f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 则 f(x)在 x＝a 处取最小值 f(a)＝a＋1， 由 a＋1＝5，得 a＝4，符合 a＞－1. 综上所述，实数 a 的值为－6 或 4. 答案：－6 或 4 3．已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含 1，2]，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－3 时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3 ⇔ x≤2， 3－x＋2－x≥3 或 2