高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修51 7页

2.1.1 数列 1．理解数列的概念，了解数列的几种分类． 2．了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列 的通项公式． 3．了解数列与函数的关系． 1．数列的有关概念 (1)数列的定义：按照________排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做 这个数列的____． (2)数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，此数列可简记作{an}，其中数列 的第 n项记作____，这里{an}是数列的简记符号，并不表示一个集合． 关于定义的理解，应注意以下几点： ①数列的项与项的序号是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是 一个函数值，也就是相当于 f(n)，而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变 量的值，相当于 f(n)中的 n. ②次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的 数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别． 例如，2,3,4,5,6 这 5 个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2,3,4,5,6} 中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合． ③数列 a1，a2，…，an，不可以写成{a1，a2，…，an}的形式，但是可以简记为{an}． 【做一做 1】将正整数的前 5个数排列成四种形式：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③ 2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是__________． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n项 an与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的________． (1)数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示； (2)不是所有的数列都有通项公式，如果有，则不唯一． 【做一做 2】下列解析式中不．是数列 1，－1,1，－1，…的通项公式的是( )． A．an＝(－1) n B．an＝(－1) n＋1 C．an＝(－1) n－1 D．an＝ 1，n为奇数， －1，n 为偶数 3．数列与函数的关系 在数列{an}中，对于每一个正整数 n(或 n∈{1,2，…，k})，都有一个数 an与之对应， 因此，数列可以看成以__________(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数 an＝f(n)， 当自变量按照________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数 y＝ f(x)，如果 f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)，f(2)，f(3)，…， f(n)，….其图象是一系列孤立的点． (1)数列{an}与函数 f(n)＝an(n∈N＋)是不同的，{an}中的元素具有有序性，如将 a1，a2， a3，…，an排成 a3，a1，a2，…，an，则为不同的数列，而对于函数 f(n)＝an(n∈N＋)来说却 是一样的． (2)数列中，自变量的取值更有规律性，必须从小到大取正整数． 【做一做 3－1】下列说法不正确的是( )． A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 【做一做 3－2】数列{an}的通项公式 an＝f(n)，作为函数，它的定义域是( )． A．正整数集 N＋ B．自然数集 N C．正整数集 N＋或 N＋的任一子集 D．正整数集 N＋或其有限子集{1,2,3，…，n} 4．数列的分类 (1)按项的个数分类 类别 含义 ______数列 项数有限的数列 ______数列 项数无限的数列 (2)按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第二项起，每一项______它的前一项的数列 递减数列 从第二项起，每一项______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 【做一做 4】已知下列数列： ①2 000,2 004,2 008,2 012； ②0， 1 2 ， 2 3 ，…， n－1 n ，…； ③1， 1 2 ， 1 4 ，…， 1 2 n－1 ，…； ④1，－ 2 3 ， 3 5 ，…， －1 n－1 ·n 2n－1 ，…； ⑤1,0，－1，…，sin nπ 2 ，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________． 一、对数列通项公式的理解 剖析：一个数列{an}的第n项 an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式an＝f(n) 来表示，则这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式的作用在于：当用序号代替 通项公式中的 n时，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了． (1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如π精确到 1,0.1,0.01,0.001，…的不足 近似值构成的数列，即 3，3.1，3.14,3.141，…就没有通项公式． (2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以 写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝－sin 2n－1π 2 (n∈N＋)等等． (3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段函数的形式表达，如数列－1,1， －1,1，…的通项公式还可以写成 an＝ －1，n为奇数， 1，n 为偶数. (4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳 出的数列的通项公式并不唯一． 二、函数思想在数列中的应用 剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用 函数的思想来解决． (1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的 项的集合． (2)数列的通项公式是项 an与项数 n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值 an 与自变量 n的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函 数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单． (3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问 题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化． (4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求函数的单调性问题， 可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了． 总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的 有关问题可达到事半功倍的效果． 三、教材中的“思考与讨论” 是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项 公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于 5的函数) 剖析：存在这样的数列，如 an＝－ 1 n ，an＝5－ 2 n 等均满足条件． 题型一 数列的概念 【例 1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？ (1){1,5,2,3,6,7}； (2)方程 x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝0 的解； (3)f(x)＝x2 －x＋2 的函数值 f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)； (4)当 x＝1时，x，x＋1，x－2，x2 ,2 x 的值； (5)－3,－1,1,x,5,7,y,11. 分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即 可判断出是否为数列． 反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否 都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有 规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的． 题型二 根据通项公式求项 【例 2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前 5项． (1)an＝ n 2n＋1 ；(2)an＝3n＋2n. 分析：已知数列的通项公式，依次用 1,2,3，…代替公式中的 n，便可以求出数列的各 项． 反思：数列的通项公式给出了第 n项 an与它的位置序号 n 之间的关系，只要用序号代 替公式中的 n，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数 值． 题型三 由数列的前几项写通项公式 【例 3】分别写出下列数列的一个通项公式： (1)－1 1 4 ，3 2 9 ，－5 3 16 ，7 4 25 ，－9 5 36 ，…； (2)4，－ 5 2 ，2，－ 7 4 ，…； (3)5,55,555,5 555，…； (4)1,1， 5 7 ， 7 15 ， 9 31 ，…. 分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 反思：常见数列的通项公式如下： ①数列－1,1,－1,1，…的通项公式是 an＝(－1) n ； ②数列 1,2,3,4，…的通项公式是 an＝n； ③数列 1,3,5,7，…的通项公式是 an＝2n－1； ④数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； ⑤数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2 n－1 ； ⑥数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2 ； ⑦数列 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，…的通项公式是 an＝ 1 n . 题型四 判断数列的增减性 【例 4】已知函数 f(x)＝x－ 1 x .数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． 分析：先根据已知条件解方程求 an，然后利用作差或作商法判断数列{an}的增减性． 反思：数列{an}增减性的判定方法： (1)作差比较法 ①若 an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若 an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若 an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法 an＋1 an ＞1 0＜ an＋1 an ＜1 an＋1 an ＝1 an＞0 递增数列 递减数列 常数列 an＜0 递减数列 递增数列 常数列 题型五 数列与函数的联系 【例 5】设函数 f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，数列{an}的通项 an满足  2 2naf n＝ (n ∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式． (2)数列{an}中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小 项，请说明理由． 分析：第(1)问可用代入法求得 an的关系式，再通过解方程求得 an.第(2)问可利用函数 的单调性来判断． 反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或 它的有限子集{1,2，3，…，n})上的函数，判断数列随 n 增大而变化的规律的方法与判断函 数的单调性相同． 题型六 易错辨析 【例 6】已知在数列{an}中，an＝n2 －kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则 k 的取值范围是 ( )． A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] 错解：因为 an是关于 n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{an}递增，则必有 k 2 ≤1， 故 k≤2.故选 A． 错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单 调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一 个定义域为正整数集 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，故对于数列的单调 性的判断一般要通过比较 an＋1与 an的大小来判断：若 an＋1＞an，则数列为递增数列；若 an＋1 ＜an，则数列为递减数列． 1在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34，…中，x 的值是( )． A．19 B．20 C．21 D．22 2 已知数列{an}的通项公式是 an＝－n2 ＋7n＋9，则其第 3项，第 4项分别是( )． A．21,23 B．21,25 C．21,21 D．以上选项都不对 3以下四个数中，哪个数是数列{n(n＋1)}中的一项( )． A．380 B．39 C．32 D．23 4 已知－1,7，－13,19，…，则这个数列的通项公式为________． 5 数列{an}的通项公式为 an＝ 1 n＋1＋ n ，则 10－ 9是此数列的第________项． 答案： 基础知识·梳理 1．(1)一定次序 项 (2)an 【做一做 1】①②③④ 2．序号 n 通项公式 【做一做 2】A 令 n＝1，在 an＝(－1) n＋1 中，a1＝(－1) 1＋1 ＝1，同样在 an＝(－1) n－1 ， an＝ 1，n 为奇数， －1，n为偶数 中均有 a1＝1，符合题意．而在 an＝(－1) n 中， a1＝(－1) 1 ＝－1，不 符合题意，故选 A. 3．正整数 N＋ 从小到大 【做一做 3－1】C 数列中的项可以相等． 【做一做 3－2】D 4．(1)有穷 无穷 (2)大于 小于 相等 【做一做 4】① ②③④⑤ 典型例题·领悟 【例 1】解：(1){1,5,2,3,6,7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列； (4)当 x＝1时，x，x＋1，x－2，x2, 2 x 都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当 x，y表示数时为数列；当 x，y 中有一个不代表数时，便不是数列． 【例 2】解：(1)在通项公式 an＝ n 2n＋1 中，依次取 n＝1,2,3,4,5，得到数列的前 5项为 a1＝ 1 2×1＋1 ＝ 1 3 ，a2＝ 2 2×2＋1 ＝ 2 5 ，a3＝ 3 2×3＋1 ＝ 3 7 ，a4＝ 4 2×4＋1 ＝ 4 9 ，a5＝ 5 2×5＋1 ＝ 5 11 . (2)在通项公式 an＝3n＋2 n 中，依次取 n＝1,2,3,4,5，得到数列的前 5 项为 a1＝3×1＋ 2 1 ＝5，a2＝3×2＋2 2 ＝10，a3＝3×3＋2 3 ＝17，a4＝3×4＋2 4 ＝28，a5＝3×5＋2 5 ＝47. 【例 3】解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各 项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是 1,3,5,7,9，为奇数，分 数的分子是 1,2,3,4,5，正好是序号，分母是 4,9,16,25,36，正好是平方数，这样我们可以 归纳出数列的通项公式为 an＝(－1) n [(2n－1)＋ n (n＋1)2 ]． (2)将数列前 4 项改写成分数的形式： 4 1 ，－ 5 2 ， 6 3 ，－ 7 4 ，可得该数列的通项公式 an＝(－1) n ＋1n＋3 n . (3)由于 9,99,999,9 999，…的通项公式是 10 n －1，所以将题中数列各项改写可得：5 ＝ 5 9 ×9,55＝ 5 9 ×99,555＝ 5 9 ×999,5 555＝ 5 9 ×9 999，可得该数列的通项公式 an＝ 5 9 (10n－1)． (4)原数列可写成： 1 1 ， 3 3 ， 5 7 ， 7 15 ， 9 31 ，…，得该数列的通项公式为 an＝ 2n－1 2 n －1 . 【例 4】解：(1)∵f(x)＝x－ 1 x ，f(an)＝－2n， ∴an－ 1 an ＝－2n，即 a2 n＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2 ＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2 ＋1－n. (2)解法一(作差法)： ∵an＋1－an＝ (n＋1) 2 ＋1－(n＋1)－( n2 ＋1－n) ＝ (n＋1) 2 ＋1－ n2 ＋1－1 ＝ 2 2 2 2 2 2 [ ( 1) 1 1][ ( 1) 1 1] ( 1) 1 1 n n n n n n             －1 ＝ (n＋1)＋n (n＋1)2＋1＋ n2＋1 －1， 又 (n＋1) 2 ＋1＞n＋1， n2 ＋1＞n， ∴ (n＋1)＋n (n＋1) 2 ＋1＋ n2 ＋1 ＜1. ∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列． 解法二(作商法)： ∵an＞0， ∴ an＋1 an ＝ (n＋1) 2 ＋1－(n＋1) n2＋1－n ＝ n2 ＋1＋n (n＋1)2＋1＋(n＋1) ＜1. ∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列． 【例 5】解：(1)由已知，得 log22an－log2an4＝2n，即 an－ 2 an ＝2n，即 a2 n－2nan －2＝0， 解得 an＝n± n2 ＋2. 又 0＜x＜1，∴0＜2an＜1. 故 an＜0(n∈N＋)， ∴an＝n－ n2 ＋2(n∈N＋)． (2)有．∵ an＋1 an ＝ (n＋1)－ (n＋1) 2 ＋2 n－ n2 ＋2 ＝ n＋ n2 ＋2 n＋1＋ (n＋1) 2 ＋2 ＜1， 又 an＜0，∴an＋1＞an(n∈N＋)， 即 a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…. ∴数列的最小项为第 1 项，a1＝1－ 3. 【例 6】正解：选 B.an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.由于{an}单调递增， 故应有 an＋1－an＞0，即 2n＋1－k＞0 恒成立，所以 k＜2n＋1，故只需 k＜3即可．故选 B. 随堂练习·巩固 1．C 观察数列可得规律：1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5，…，8＋13＝x＝21，13＋21＝ 34，∴x＝21，故选 C. 2．C 3．A n(n＋1)是这个数列的通项公式，即 an＝n(n＋1)． ∵380＝19×20＝19×(19＋1)， ∴380 是该数列中的第 19 项，或者令 n(n＋1)＝380，得 n＝19，是个整数，符合题意．故 选 A. 4．(－1) n (6n－5) 5．9 利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，an＝ 1 n＋1＋ n ＝ n＋1－ n＝ 10－ 9，观察可得：n＝9.