人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-2-1-2-2第1课时组合与组合数公式word版含解析 5页

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合 第 1 课时 组合与组合数公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知平面内 A、B、C、D 这 4 个点中任何 3 点均不共线，则由 其中任意 3 个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A．3 B．4 C．12 D．24 解析：C34＝C14＝4. 答案：B 2．集合 A＝{x|x＝Cn4，n 是非负整数}，集合 B＝{1，2，3，4}， 则下列结论正确的是( ) A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．B A C．A∩B＝{1，4} D．A⊆B 解析：依题意，C n4中，n 可取的值为 1，2，3，4，所以 A＝{1，4， 6}，所以 A∩B＝{1，4}． 答案：C 3．下列各式中与组合数 Cmn (n≠m)相等的是( ) A.n mCmn－1 B. n n－mCmn－1 C．Cn－m＋1n D. Amn n！ 解析：因为 n n－mCmn－1＝ n n－m · （n－1）！ m！（n－m－1）！＝ n！ m！（n－m）！， 所以选项 B 正确. 答案：B 4．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝( ) A．C215 B．C316 C．C317 D．C417 解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25 ＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317. 答案：C 5．5 个代表分 4 张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完， 那么分法一共有( ) A．A 45种 B．45 种 C．54 种 D． C 45种 解析：由于 4 张同样的参观券分给 5 个代表，每人最多分一张， 从 5 个代表中选 4 个即可满足，故有 C 45种． 答案：D 二、填空题 6．7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若 每天安排 3 人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 解析：第一步安排周六有 C 37种方法，第二步安排周日有 C 34种方 法，所以不同的安排方案共有 C37C34＝140(种)． 答案：140 7．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A、B、O、AB 四种 之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时， 子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型，则父母血型所有可能情况 有________种． 解析：父母应为 A、B 或 O，C13C13＝9(种)． 答案：9 8．从一组学生中选出 4 名学生当代表的选法种数为 A，从这组学 生中选出 2 人担任正、副组长的选法种数为 B，若B A ＝ 2 13 ，则这组学生 共有________人． 解析：设有学生 n 人，则A2n C4n ＝ 2 13 ，解之得 n＝15. 答案：15 三、解答题 9．解不等式：2Cx－2x＋1＜3Cx－1x＋1. 解：因为 2Cx－2x＋1＜3Cx－1x＋1， 所以 2C3x＋1＜3C2x＋1. 所以2×（x＋1）x（x－1） 3×2×1 ＜3×（x＋1）x 2×1 . 所以x－1 3 ＜3 2 ，解得 x＜11 2 . 因为 x＋1≥3 x＋1≥2 ，所以 x≥2. 所以 2≤x＜11 2 .又 x∈N*，所以 x 的值为 2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}． 10．平面内有 10 个点，其中任何 3 个点不共线． (1)以其中任意 2 个点为端点的线段有多少条？ (2)以其中任意 2 个点为端点的有向线段有多少条？ (3)以其中任意 3 个点为顶点的三角形有多少个？ 解：(1)所求线段的条数，即为从 10 个元素中任取 2 个元素的组合， 共有 C210＝10×9 2×1 ＝45(条)，即以 10 个点中的任意 2 个点为端点的线段 共有 45 条． (2)所求有向线段的条数，即为从 10个元素中任取 2个元素的排列， 共有 A210＝10×9＝90(条)，即以 10 个点中的 2 个点为端点的有向线段 共有 90 条． (3)所求三角形的个数，即从 10 个元素中任选 3 个元素的组合数， 共有 C310＝10×9×8 3×2×1 ＝120(个)． B 级 能力提升 1．某研究性学习小组有 4 名男生和 4 名女生，一次问卷调查活动 需要挑选 3 名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为 ( ) A．120 B．84 C．52 D．48 解析：用间接法可求得选法共有 C38－C34＝52(种)． 答案：C 2．A，B 两地街道如图所示，某人要从 A 地前往 B 地，则路程最 短的走法有________种(用数字作答)． 解析：根据题意，要求从 A 地到 B 地路程最短，必须只向上或向 右行走即可，分析可得，需要向上走 2 次，向右走 3 次，共 5 次，从 5 次中选 3 次向右，剩下 2 次向上即可，则不同的走法有 C35＝10(种)． 答案：10 3．现有 5 名男司机，4 名女司机，需选派 5 人运货到某市． (1)如果派 3 名男司机、2 名女司机，共有多少种不同的选派方法？ (2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 解：(1)从 5 名男司机中选派 3 名，有 C 35种方法， 从 4 名男司机中选派 2 名，有 C 24种方法， 根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为 C35C24＝C25C24＝5×4 2×1 ×4×3 2×1 ＝60(种)． (2)分四类： 第一类，选派 2 名男司机，3 名女司机的方法有 C25C34＝ 40(种)； 第二类，选派 3 名男司机，2 名女司机的方法有 C35C24＝ 60(种)； 第三类，选派 4 名男司机，1 名女司机的方法有 C45C14＝ 20(种)； 第四类，选派 5 名男司机，不派女司机的方法有 C55C04＝ 1(种)． 所以选派方法共有 40＋60＋20＋1＝121(种)．