江西省麻山中学2020届高考数学仿真模拟冲刺卷四（含解析） 16页

1 江西省麻山中学 2020 届高考数学仿真模拟冲刺卷（四） 注意事项： 1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。 2.请将答案填写在答题卷上。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1. 1－i 1＋i ＋3i＝( ) A．i B．2i C．1－3i D．1＋3i 2．已知集合 A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若 A⊆B，则实数 a的取值范围为( ) A．(1,3) B．[1,3] C．[1，＋∞) D．(－∞，3] 3．已知向量 a＝(2,1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则 x＝( ) A．－ 1 2 B. 1 2 C．1 或－ 1 2 D．1 或 1 2 4．函数 f(x)＝ x2 e x |x| 的图象大致为( ) 5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 s＝( ) A．26 B．102 C．410 D．512 6．设 x，y满足约束条件 x－4y＋3≤0， x＋2y－9≤0， x≥1， 则 z＝2x＋y的取值范围为( ) A．[2,6] B．[3,6] C．[3,12] D．[6,12] 7．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为 2π，则 f(x)的单调递增区间是( ) 2 A. 2kπ－ π 6 ，2kπ＋ π 6 (k∈Z) B. 2kπ－ π 3 ，2kπ＋ 2π 3 (k∈Z) C. 2kπ－ 2π 3 ，2kπ＋ π 3 (k∈Z) D. 2kπ－ π 6 ，2kπ＋ 5π 6 (k∈Z) 8．已知 a，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数 f(x)＝ax2 －bx＋1 在[2，＋∞)上单调递增的概率为( ) A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为( ) A. 32 3 B．16 C．32 D．48 10．已知正三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3的正三角形，侧棱长为 2 5， 则球 O的表面积为( ) A．10π B．25π C．100π D．125π 11．已知 M 为双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右支上一点，A，F 分别为双曲线 C的左顶点和右焦点，线段 FA 的垂直平分线过点 M，∠MFA＝60°，则 C 的离心率为( ) A．6 B．4 C．3 D．2 12．已知函数 f(x)＝ 1 3 x3 ＋a 1 2 x2 ＋x＋2 ，则 f(x)的零点可能有( ) A．1 个 B．1 个或 2个 C．1 个或 2个或 3 个 D．2 个或 3个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分． 13．已知点 P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若 0°≤α<360°，则α＝________. 14．已知两条不同的直线 m，n，两个不重合的平面α，β，给出下列五个命题： 3 ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④m⊥α，m∥β⇒α⊥β ⑤α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确命题的序号是________． 15．若函数 f(x)＝ax－ 3 x 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,4)，则 a＝________. 16．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 ccos B＋bcos C＝2acos A，AM → ＝ 2 3 AB → ＋ 1 3 AC → ，且 AM＝1， 则 b＋2c 的最大值是________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共 60 分． 17．(12 分)已知{an}是首项为 1 的等比数列，各项均为正数，且 a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 n＋2 log3an＋1 ，求数列{bn}的前 n项和 Sn. 18．(12 分)如图，已知在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三角形，平面 PAD ⊥平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点． (1)求证：平面 EFG⊥平面 PAD； (2)若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 M－EFG 的体积． 4 19．(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y＝ 3 2 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C的右焦点 F2，椭圆 C 的另一个焦点是 F1，且MF1 → ·MF2 → ＝ 9 4 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 过点(－1,0)，且与椭圆 C交于 P，Q 两点，求△F2PQ 的内切圆面积的最大值． 20．(12 分)某校高三文科(1)班共有学生 45 人，其中男生 15 人，女生 30 人．在一次地理考试后，对成绩作了 数据分析(满分 100 分)，成绩为 85 分以上的同学称为“地理之星”，得到了如下图表： 地理之星 非地理之星 合计 男性 女生 合计 如果从全班 45 人中任意抽取 1 人，抽到“地理之星”的概率为 1 3 . (1)完成“地理之星”与性别的 2×2列联表，并回答是否有 90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别” 有关？ (2)若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为 90，方差为 7.2，请你判断这些同学中是否有 得到满分的同学，并说明理由．(得分均为整数) 参考公式：K2＝错误!，其中 n＝a＋b＋c＋d. 5 临界值表： P(K2 ≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．(12 分)已知函数 f(x)＝ x 1＋x －aln(1＋x)(a∈R)，g(x)＝x2 e mx＋1 －e 2 . (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若 a<0，∀x1，x2∈[0，e]，不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数 m 的取值范围． (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝－ 1 2 t， y＝a＋ 3 2 t (t 为参数，a∈R)．以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，射线θ＝ π 3 (ρ≥0)与曲线 C 交于 O，P 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点． (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)当|AB|＝|OP|时，求 a 的值． 6 23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4 的解集为 M. (1)求集合 M； (2)设实数 a∈M，b∉ M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|. 7 仿真模拟冲刺卷(四) 1．答案：B 解析：解法一 因为 1－i 1＋i ＋3i＝ 1－i2 2 ＋3i＝2i，故选 B. 解法二 1－i 1＋i ＋3i＝ 1－i＋3i－3 1＋i ＝ －21－i2 2 ＝2i，故选 B. 2．答案：B 解析：由 log2(x－1)<1，得 00，所以排除选项 C，D.因为 x>0 时，f(x)＝ x2ex x ＝xex ，所以 f′(x)＝e x ＋xex ＝e x (x＋1)>0，所以 f(x) 在(0，＋∞)上单调递增，排除选项 B.故选 A. 5．答案：B 解析：s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3； 第二次运行，s＝2 3 －2＝6，n＝3＋2＝5； 第三次运行，s＝2 5 －6＝26，n＝5＋2＝7； 第四次运行，s＝2 7 －26＝102，n＝7＋2＝9>8，终止循环．输出 s＝102，故选 B. 6．答案：C 解析：解法一 不等式组 x－4y＋3≤0， x＋2y－9≤0， x≥1 表示的平面区域如图中三角形 ABC(包括边界)所示，作出直线 2x 8 ＋y＝0并平移，可知当直线 z＝2x＋y经过点 A时，z取得最小值，解方程组 x＝1， x－4y＋3＝0 得 x＝1， y＝1， 即 A(1,1)， 所以 zmin＝2×1＋1＝3，当直线 z＝2x＋y 经过点 B 时，z 取得最大值，解方程组 x－4y＋3＝0， x＋2y－9＝0 得 x＝5， y＝2， 即 B(5,2)，所以 zmax＝2×5＋2＝12，所以 z 的取值范围为[3,12]，故选 C. 解法二 由方程组 x－4y＋3＝0， x＝1， x－4y＋3＝0， x＋2y－9＝0， x＋2y－9＝0， x＝1， 可得可行域的三个顶点坐标分别为 A(1,1)，B(5,2)，C(1,4)，分别代入 z＝2x＋y中，得 zA ＝3，zB＝12，zC＝6，所以 z 的取值范围为[3,12]，故选 C. 7．答案：B 解析：解法一 因为 f(x)＝2 3 2 sin ωx－ 1 2 cos ωx ＝2sin ωx－ π 6 ，f(x)的最小正周期为 2π，所以ω＝ 2π 2π ＝1，所以 f(x)＝2sin x－ π 6 ，由 2kπ－ π 2 ≤x－ π 6 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)，得 2kπ－ π 3 ≤x≤2kπ＋ 2π 3 (k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ－ π 3 ，2kπ＋ 2π 3 (k∈Z)，故选 B. 解法二 因为 f(x)＝2 3 2 sin ωx－ 1 2 cos ωx ＝－2cos ωx＋ π 3 ，f(x)的最小正周期为 2π，所以ω＝ 2π 2π ＝ 1，所以 f(x)＝－2cos x＋ π 3 ，由 2kπ≤x＋ π 3 ≤2kπ＋π(k∈Z)，得 2kπ－ π 3 ≤x≤2kπ＋ 2π 3 (k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为 2kπ－ π 3 ，2kπ＋ 2π 3 (k∈Z)，故选 B. 8．答案：D 解析：当 a＝0 时，f(x)＝－bx＋1在[2，＋∞)上不可能单调递增，当 a≠0 时，由已知及二次函数的单调性知 － －b 2a ≤2，即 b≤4a，所以由题意可得 01，所以 e＝4，故选 B. 12．答案：A 10 解析：因为 f(x)＝ 1 3 x3 ＋a 1 2 x2 ＋x＋2 ，所以 f′(x)＝x2 ＋ax＋a， 令 f′(x)＝0，则Δ＝a2 －4a＝(a－2) 2 －4. 因为 1 2 x2＋x＋2＝ 1 2 (x＋1)2＋ 3 2 >0，所以令 f(x)＝0，则 a＝ － 1 3 x3 1 2 x2＋x＋2 ， f(x)的零点转化为直线 y＝a 与函数 g(x)＝ － 1 3 x3 1 2 x2＋x＋2 的图象的交点． g′(x)＝ －x2 1 2 x2＋x＋2 ＋ 1 3 x3x＋1 1 2 x2 ＋x＋2 2 ＝ － 1 6 x4－ 2 3 x3－2x2 1 2 x2＋x＋2 2 ， 令 g′(x)＝0，即－ 1 6 x4－ 2 3 x3－2x2＝0，整理得 x2(x2＋4x＋12)＝0， 由于 x2 ＋4x＋12＝(x＋2) 2 ＋8>0，所以 x＝0，所以 g′(x)≤0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直 线 y＝a 与函数 g(x)的图象可能有 1 个交点．所以 f(x)的零点可能有 1个．故选 A. 13．答案：55° 解析：由题意知 cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，∴α＝55°. 14．答案：①④⑤ 解析：命题①，显然正确；命题②，m，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能 n⊂α，故③为假命题；命 题④，由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题；命题⑤，由 m∥n，m⊥α，得 n⊥α，又 α∥β，所以 n⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤. 15．答案：2 解析：f′(x)＝a＋ 3 x2 ，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故 f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为 y－(a－3) ＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2,4)，所以 4－(a－3)＝a＋3，解得 a＝2. 16．答案：2 3 解析：∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos A，∴sin(C＋B)＝2sin Acos A， ∴sin A＝2sin Acos A．∵00，所以 q＝3，所以 an＝3n－1.(5 分) (2)bn＝ 1 n＋2log3an＋1 ＝ 1 nn＋2 ＝ 1 2 1 n － 1 n＋2 ，(8 分) 所以 Sn＝ 1 2 1－ 1 3 ＋ 1 2 － 1 4 ＋…＋ 1 n－1 － 1 n＋1 ＋ 1 n － 1 n＋2 ＝ 3 4 － 2n＋3 2n＋1n＋2 .(12 分) 18．解析：(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，CD⊂平面 ABCD，且 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 PAD. 在△PCD 中，E，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 EF∥CD，所以 EF⊥平面 PAD. 因为 EF⊂平面 EFG，所以平面 EFG⊥平面 PAD. (2)因为 EF∥CD，EF⊂平面 EFG，CD⊄ 平面 EFG， 所以 CD∥平面 EFG， 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，连接 DF，DG，如图， V 三棱锥 M－EFG＝V 三棱锥 D－EFG. 取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，FH， 则 EF∥GH， 因为 EF⊥平面 PAD，EH⊂平面 PAD， 所以 EF⊥EH. 于是 S△EFH＝ 1 2 EF×EH＝2＝S△EFG. 平面 EFG⊥平面 PAD，平面 EFG∩平面 PAD＝EH， 且易知△EHD 是边长为 2的正三角形，所以点 D到平面 EFG 的距离等于正三角形 EHD 的高，为 3. 所以三棱锥 M－EFG 的体积 V 三棱锥 M－EFG＝V 三棱锥 D－EFG＝ 1 3 ×S△EFG× 3＝ 2 3 3 . 12 19．解析：(1)根据直线 y＝ 3 2 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2， 可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标 c， 3 2 c ，F1(－c,0)，F2(c,0)． ∵MF1 → ·MF2 → ＝ 9 4 ， ∴ 9 4 c2＝ 9 4 ，∴c＝1. 设椭圆 C 方程： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)， M 点坐标 1， 3 2 代入椭圆 C方程得 1 a2 ＋ 9 4 b2 ＝1， ∵c＝ a2 －b2 ＝1， ∴a＝2，b＝ 3. ∴椭圆 C 方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1.(6 分) (2)要使△F2PQ 的内切圆面积最大，即使△F2PQ 的面积最大， ∵F2F1为定长， ∴当且仅当直线 l 过(－1,0)，与 x 轴垂直时△F2PQ 的面积最大， 此时 P －1， 3 2 ，Q －1，－ 3 2 ， ∴|F2P → |＝|F2Q → |＝ 5 2 ，|PQ → |＝3. 设△F2PQ 的内切圆半径为 r，则 1 2 ×3×2＝ 1 2 × 3＋ 5 2 ＋ 5 2 r， ∴r＝ 3 4 ，其面积 S＝ 9π 16 .(12 分) 20．解析：(1)易知“地理之星”总人数为 45× 1 3 ＝15，得到 2×2列联表如下： 地理之星 非地理之星 合计 男生 7 8 15 13 女生 8 22 30 合计 15 30 45 (4 分) 则 k＝ 45×7×22－8×82 15×30×15×30 ＝1.8<2.706， 所以没有 90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关．(6 分) (2)没有得满分的同学．记各个分值由高到低分别为 x1，x2，…，x15，则 ①若有两个及以上得满分， 则 s2＝ 1 15 [(100－90)2＋(100－90)2＋(x3－90)2＋…＋(x15－90)2]> 40 3 >7.2，不符合题意．(8 分) ②若恰有一个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布于平均数 90 的附近，且保证平均值为 90，则有 10 个得分为 89，其余 4个得分为 90，此时方差取得最小值．(10 分) s2 min＝ 1 15 [(100－90) 2 ＋4×(90－90) 2 ＋10×(89－90) 2 ]＝ 22 3 >7.2，与题意方差为 7.2 不符． 综上，这些同学中没有得满分的同学． (也可以从一个满分讨论入手，推导一个不符合题意，两个更不符合题意)(12 分) 21．解析：(1)因为 f(x)＝ x 1＋x －aln(1＋x)(x>－1)， 所以 f′(x)＝ 1 x＋12 － a x＋1 ＝ －ax－a＋1 x＋12 ，(1 分) 当 a≤0 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．(2 分) 当 a>0 时，由 f′x>0， x>－1， 得－1－1， 得 x>－1＋ 1 a .(3 分) 所以函数 f(x)的单调递增区间是 －1，－1＋ 1 a ；单调递减区间是 －1＋ 1 a ，＋∞ .(4 分) 综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)． 当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间是 －1，－1＋ 1 a ；单调递减区间是 －1＋ 1 a ，＋∞ .(5 分) (2)若 a<0，则∀x1，x2∈[0，e]，不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立， 等价于“对任意 x∈[0，e]，f(x)min≥g(x)max恒成立”．(6 分) 当 a<0 时，由(1)知，函数 f(x)在[0，e]上单调递增， 所以 f(x)min＝f(0)＝0.(7 分) g′(x)＝2xemx＋1 ＋x2 e mx＋1m＝x(mx＋2)e mx＋1 ， (ⅰ)当 m≥0 时，由 0≤x≤e，得 g′(x)≥0，知函数 g(x)在[0，e]上单调递增， 所以 g(x)max＝g(e)＝e me＋3 －e 2 >0，不符合题意．(8 分) 14 (ⅱ)当－ 2 e ≤m<0，即－ 2 m ≥e时，在[0，e]上，g′(x)≥0，所以 g(x)在[0，e]上单调递增，所以 g(x)max＝g(e) ＝e me＋3 －e 2 ，只需满足：e me＋3 －e 2 ≤0，即 m≤－ 1 e ，所以－ 2 e ≤m≤－ 1 e .(9 分) (ⅲ)当 m<－ 2 e ，即 0<－ 2 m － 2 e ，所以 m<－ 2 e .(11 分) 综上所述，实数 m 的取值范围为 －∞，－ 1 e .(12 分) 22．解析：(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，得 3x＋y－a＝0.(2 分) 由ρ＝4cos θ，得ρ2 ＝4ρcos θ，(3 分) 从而 x2＋y2＝4x，即曲线 C 的直角坐标方程为 x2－4x＋y2＝0.(5 分) (2)解法一 由 ρ＝4cos θ θ＝ π 3 ρ≥0 ，得 P 2， π 3 . 所以|OP|＝2，(6 分) 将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2 －4x＋y2 ＝0 中，得 t2 ＋(2＋ 3a)t＋a2 ＝0， 由Δ＞0，得 2 3－4＜a＜2 3＋4.(8 分) 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 2－4t1t2＝ 4＋4 3a－a2 ＝2，(9 分) 解得，a＝0或 a＝4 3. 所以，所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分) 解法二 将θ＝ π 3 (ρ≥0)化为直角坐标方程，得 3x－y＝0(x≥0)，(6 分) 由(1)知，曲线 C：(x－2) 2 ＋y2 ＝4的圆心 C(2,0)，半径为 2， 由点到直线的距离公式，得点 C 到该射线的最短距离 d＝ 2 3 3＋1 ＝ 3，(7 分) 所以该射线与曲线 C相交所得的弦长为|OP|＝2 2 2 － 32＝2.(8 分) 圆心 C到直线 l的距离为： |2 3－a| 3＋1 ＝ |2 3－a| 2 ，(9 分) 15 由 |2 3－a| 2 2 ＋1 2 ＝2 2 ，得(2 3－a)2 ＝12，即 2 3－a＝±2 3， 解得，a＝0或 a＝4 3. 所以，所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分) 23．解析：(1)解法一 当 x＜－ 1 2 时，不等式化为：－2x－1＋1－2x＜4，即 x＞－1， 所以－1＜x＜－ 1 2 ；(2 分) 当－ 1 2 ≤x≤ 1 2 时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即 2＜4， 所以－ 1 2 ≤x≤ 1 2 ；(3 分) 当 x＞ 1 2 时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即 x＜1， 所以 1 2 ＜x＜1，(4 分) 综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．(5 分) 解法二 设 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|， 则 f(x)＝ －4x，x<－ 1 2 ， 2，－ 1 2 ≤x≤ 1 2 ， 4x，x> 1 2 . (2 分) 函数 f(x)的图象如图所示，(4 分) 若 f(x)<4，由右图可得，－1 1 2 ， 2x＋1＋2x－1<4. (3 分) 解得－1