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  • 2021-06-24 发布

人教版高中数学选修2-3练习:第三章3-1第1课时线性回归模型word版含解析

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第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 第 1课时 线性回归模型 A级 基础巩固 一、选择题 1.有下列说法: ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样本点 的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用 线性关系表示; ③通过回归方程y ^ =b ^ x+a ^ 及其回归系数 b,可以估计和观测变量 的取值和变化趋势; ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没 有必要进行相关性检验. 其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①反映的是最小二乘法思想,故正确.②反映的是画散点 图的作用,也正确.③反映的是回归模型 y=bx+a+e,其中 e 为随机 误差,故也正确.④不正确,在求回归方程之前必须进行相关性检验, 以体现两变量的关系. 答案:C 2.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵轴上的截距是 a,那么必有( ) A.b 与 r 的符号相同 B.a 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 D.a 与 r 的符号相反 解析:因为 b>0时,两变量正相关,此时 r>0;b<0时,两变 量负相关,此时 r<0. 答案:A 3.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则 y 与 x 之间的回归直线方程为( ) A.y ^ =x+1 B.y ^ =x+2 C.y ^ =2x+1 D.y ^ =x-1 解析:求出样本中心( — x , — y )代入选项检验知选项 A正确. 答案:A 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性 相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法 建立的回归方程为y ^ =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( — x , — y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 解析:回归方程中 x 的系数为 0.85>0,因此 y 与 x 具有正的线性 相关关系,A正确;由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的 中心 — x , — y ,B正确;依据回归方程中 y 的含义可知,x 每变化 1个单 位,y 相应变化约 0.85个单位,C正确;用回归方程对总体进行估计 不能得到肯定的结论,故 D错误. 答案:D 5.(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关 系,随机调查了该社区 5户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^ =b ^ x+a ^ ,其中b ^ =0.76,a ^ =y-b ^— x ,. 据此估计,该社区一户年收入为 15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 解析:由已知得 — x = 8.2+8.6+10.0+11.3+11.9 5 =10(万元), — y = 6.2+7.5+8.0+8.5+9.8 5 =8(万元), 故a ^ =8-0.76×10=0.4. 所以回归直线方程为y ^ =0.76x+0.4,社区一户年收入为 15万元家 庭年支出为y ^ =0.76x+0.4,社区一户年收入为 15万元家庭支出为y ^ = 0.76×15+0.4=11.8(万元). 答案:B 二、填空题 6.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒 服的月销售量 y(单位:件)与月平均气温 x(单位:℃)之间的关系,随 机统计了某 4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表所示: 月平均气温 x/℃ 17 13 8 2 月销售 y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^ =b ^ x+a ^ 中的b ^ =-2.气象部门预 测下个月的平均气温约为 6 ℃,据此估计,该商场下个月该品牌羽绒 服的销售量的件数约为________. 解析:由表格得( — x , — y )为(10,38),又( — x , — y )在回归直线y ^ = b ^ x+a ^ 上,且b ^ =-2,所以 38=-2×10+a ^ ,a ^ =58,所以y ^ =-2x+ 58,当 x=6时,y ^ =-2×6+58=46. 答案:46 7.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售 市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业 9月份的产 品销量(单位:千箱)与单位成本(单位:元)的资料进行线性回归分析, 结果如下: a ^ =71-(-1.818 2)× 7 2 2 ≈77.36,则销量每增加 1千箱,单位成 本下降________元. 解析:由已知可得,y ^ =-1.818 2x+77.36,销量每增加 1千箱, 则单位成本下降 1.818 2元. 答案:1.818 2 8.已知一个线性回归方程为y ^ =1.5x+45,其中 x 的取值依次为 1, 7,5,13,19,则 — y =________. 解析: — x = 1+7+5+13+19 5 =9,因为回归直线方程过点( — x , — y ),所以 — y =1.5x+45=1.5×9+45=58.5. 答案:58.5 三、解答题 9.某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量 x(单位:mg/L) 与消光系数 y 读数的结果如下: 尿汞含量 x 2 4 6 8 10 消光系数 y 64 138 205 285 360 (1)画出散点图; (2)求回归方程. 解:(1)散点图如图所示: (2)由图可知 y 与 x 的样本点大致分布在一条直线周围,因此可以 用线性回归方程来拟合它. 设回归方程为y ^ =b ^ x+a ^ . 故所求的线性回归方程为y ^ =36.95x-11.3. 10.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^ =b ^ x+ a ^ ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018年的粮食需求量. 解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程.为此对数据预处理如下: 年份 2012年 -4 -2 0 2 4 需求量 257万吨 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据,容易算得 — x =0, — y =3.2.所以 b ^ = (-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29 42+22+22+42 = 6.5, a ^ = — y -b ^— x =3.2. 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 y ^ -257=b ^ (x-2 012)+a ^ =6.5(x-2 012)+3.2, 即y ^ =6.5(x-2 012)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2018年的粮食需求量为 y ^ =6.5×(2 018-2 012)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈ 300(万吨). B级 能力提升 1.某考察团对全国 10大城市进行职工人均工资水平 x(单位:千 元)与居民人均消费水平 y(单位:千元)统计调查,y 与 x 具有相关关系, 回归方程为y ^ =0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675(单 位:千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 ( ) A.83% B.72% C.67% D.66% 解析:因为当y ^ =7.675时,x=7.675-1.562 0.66 ≈9.262, 所以 7.675 9.262 ≈0.829≈83%. 答案:A 2.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关 系,下表记录了小李某月 1号到 5号每天打篮球时间 x(单位:小时)与 当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5天的平均投篮命中率为________,用线性回归分析的方 法,预测小李该月 6号打 6小时篮球的投篮命中率为________. 解析:这 5天的平均投篮命中率为 — y = 0.4+0.5+0.6+0.6+0.4 5 =0.5, — x = 1+2+3+4+5 5 =3. 所以b ^ = 0.1 10 =0.01,a ^ = — y -b ^— x =0.47. 所以回归直线方程为y ^ =0.01x+0.47. 当 x=6时,y ^ =0.01×6+0.47 =0.53. 答案:0.5 0.53 3.某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位:千万吨)与资金投入量 x(单位:千万元)有如下统计数据: 分类 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 资金投入量 x/ 千万元 1.5 1.4 1.9 1.6 2.1 垃圾处理量 y/ 千万吨 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若从统计的 5年中任取 2年,求这 2年的垃圾处理量至少有一 年不低于 8.0 千万吨的概率; (2)由表中数据求得线性回归方程为y ^ =4x+a ^ ,该垃圾处理厂计划 2017年的垃圾处理量不低于 9.0千万吨,现由垃圾处理厂决策部门获 悉 2017年的资金投入量约为 1.8千万元,请你预测 2017年能否完成垃 圾处理任务,若不能,缺口约为多少千万吨? 解:(1)从统计的 5年垃圾处理量中任取 2年的基本事件共 10个: (7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9), (7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0),其中垃圾处理量至 少有一年不低于 8.0千万吨的基本事件有 6个:(7. 4,9.2),(7.4,10.0), (7.0,9.2),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0). 所以,这 2年的垃圾处理量至少有一年不低于 8.0千万吨的概率为 P= 6 10 = 3 5 . (2) — x = 1.5+1.4+1.9+1.6+2.1 5 =1.7, — y = 7.4+7.0+9.2+7.9+10.0 5 =8.3, 因为直线y ^ =4x+a ^ 过样本中心点( — x , — y ), 所以 8.3=4×1.7+a ^ ,解得a ^ =1.5. 所以y ^ =4x+1.5. 当 x=1.8时,y ^ =4×1.8+1.5=8.7<9.0, 所以不能完成垃圾处理任务,缺口约为 0.3千万吨.