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- 2021-06-24 发布
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第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
第 1课时 线性回归模型
A级 基础巩固
一、选择题
1.有下列说法:
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样本点
的数学方法;
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用
线性关系表示;
③通过回归方程y
^
=b
^
x+a
^
及其回归系数 b,可以估计和观测变量
的取值和变化趋势;
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没
有必要进行相关性检验.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①反映的是最小二乘法思想,故正确.②反映的是画散点
图的作用,也正确.③反映的是回归模型 y=bx+a+e,其中 e 为随机
误差,故也正确.④不正确,在求回归方程之前必须进行相关性检验,
以体现两变量的关系.
答案:C
2.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是
r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵轴上的截距是 a,那么必有( )
A.b 与 r 的符号相同 B.a 与 r 的符号相同
C.b 与 r 的符号相反 D.a 与 r 的符号相反
解析:因为 b>0时,两变量正相关,此时 r>0;b<0时,两变
量负相关,此时 r<0.
答案:A
3.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则
y 与 x 之间的回归直线方程为( )
A.y
^
=x+1 B.y
^
=x+2
C.y
^
=2x+1 D.y
^
=x-1
解析:求出样本中心(
—
x ,
—
y )代入选项检验知选项 A正确.
答案:A
4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性
相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法
建立的回归方程为y
^
=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( )
A.y 与 x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(
—
x ,
—
y )
C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg
D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg
解析:回归方程中 x 的系数为 0.85>0,因此 y 与 x 具有正的线性
相关关系,A正确;由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的
中心
—
x ,
—
y ,B正确;依据回归方程中 y 的含义可知,x 每变化 1个单
位,y 相应变化约 0.85个单位,C正确;用回归方程对总体进行估计
不能得到肯定的结论,故 D错误.
答案:D
5.(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关
系,随机调查了该社区 5户家庭,得到如下统计数据表:
收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程y
^
=b
^
x+a
^
,其中b
^
=0.76,a
^
=y-b
^—
x ,.
据此估计,该社区一户年收入为 15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元 B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
解析:由已知得
—
x =
8.2+8.6+10.0+11.3+11.9
5
=10(万元),
—
y =
6.2+7.5+8.0+8.5+9.8
5
=8(万元),
故a
^
=8-0.76×10=0.4.
所以回归直线方程为y
^
=0.76x+0.4,社区一户年收入为 15万元家
庭年支出为y
^
=0.76x+0.4,社区一户年收入为 15万元家庭支出为y
^
=
0.76×15+0.4=11.8(万元).
答案:B
二、填空题
6.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒
服的月销售量 y(单位:件)与月平均气温 x(单位:℃)之间的关系,随
机统计了某 4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表所示:
月平均气温 x/℃ 17 13 8 2
月销售 y/件 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程y
^
=b
^
x+a
^
中的b
^
=-2.气象部门预
测下个月的平均气温约为 6 ℃,据此估计,该商场下个月该品牌羽绒
服的销售量的件数约为________.
解析:由表格得(
—
x ,
—
y )为(10,38),又(
—
x ,
—
y )在回归直线y
^
=
b
^
x+a
^
上,且b
^
=-2,所以 38=-2×10+a
^
,a
^
=58,所以y
^
=-2x+
58,当 x=6时,y
^
=-2×6+58=46.
答案:46
7.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售
市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业 9月份的产
品销量(单位:千箱)与单位成本(单位:元)的资料进行线性回归分析,
结果如下:
a
^
=71-(-1.818 2)×
7
2
2
≈77.36,则销量每增加 1千箱,单位成
本下降________元.
解析:由已知可得,y
^
=-1.818 2x+77.36,销量每增加 1千箱,
则单位成本下降 1.818 2元.
答案:1.818 2
8.已知一个线性回归方程为y
^
=1.5x+45,其中 x 的取值依次为 1,
7,5,13,19,则
—
y =________.
解析:
—
x =
1+7+5+13+19
5
=9,因为回归直线方程过点(
—
x ,
—
y ),所以
—
y =1.5x+45=1.5×9+45=58.5.
答案:58.5
三、解答题
9.某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量 x(单位:mg/L)
与消光系数 y 读数的结果如下:
尿汞含量 x 2 4 6 8 10
消光系数 y 64 138 205 285 360
(1)画出散点图;
(2)求回归方程.
解:(1)散点图如图所示:
(2)由图可知 y 与 x 的样本点大致分布在一条直线周围,因此可以
用线性回归方程来拟合它.
设回归方程为y
^
=b
^
x+a
^
.
故所求的线性回归方程为y
^
=36.95x-11.3.
10.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
年份 2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y
^
=b
^
x+
a
^
;
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018年的粮食需求量.
解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,
下面来求回归直线方程.为此对数据预处理如下:
年份 2012年 -4 -2 0 2 4
需求量 257万吨 -21 -11 0 19 29
对预处理后的数据,容易算得
—
x =0,
—
y =3.2.所以
b
^
=
(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29
42+22+22+42
=
6.5,
a
^
=
—
y -b
^—
x =3.2.
由上述计算结果,知所求回归直线方程为
y
^
-257=b
^
(x-2 012)+a
^
=6.5(x-2 012)+3.2,
即y
^
=6.5(x-2 012)+260.2.①
(2)利用直线方程①,可预测 2018年的粮食需求量为
y
^
=6.5×(2 018-2 012)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈
300(万吨).
B级 能力提升
1.某考察团对全国 10大城市进行职工人均工资水平 x(单位:千
元)与居民人均消费水平 y(单位:千元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,
回归方程为y
^
=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675(单
位:千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为
( )
A.83% B.72% C.67% D.66%
解析:因为当y
^
=7.675时,x=7.675-1.562
0.66
≈9.262,
所以
7.675
9.262
≈0.829≈83%.
答案:A
2.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关
系,下表记录了小李某月 1号到 5号每天打篮球时间 x(单位:小时)与
当天投篮命中率 y 之间的关系:
时间 x 1 2 3 4 5
命中率
y
0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这 5天的平均投篮命中率为________,用线性回归分析的方
法,预测小李该月 6号打 6小时篮球的投篮命中率为________.
解析:这 5天的平均投篮命中率为
—
y =
0.4+0.5+0.6+0.6+0.4
5
=0.5,
—
x =
1+2+3+4+5
5
=3.
所以b
^
=
0.1
10
=0.01,a
^
=
—
y -b
^—
x =0.47.
所以回归直线方程为y
^
=0.01x+0.47.
当 x=6时,y
^
=0.01×6+0.47 =0.53.
答案:0.5 0.53
3.某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位:千万吨)与资金投入量
x(单位:千万元)有如下统计数据:
分类 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年
资金投入量 x/
千万元
1.5 1.4 1.9 1.6 2.1
垃圾处理量 y/
千万吨
7.4 7.0 9.2 7.9 10.0
(1)若从统计的 5年中任取 2年,求这 2年的垃圾处理量至少有一
年不低于 8.0 千万吨的概率;
(2)由表中数据求得线性回归方程为y
^
=4x+a
^
,该垃圾处理厂计划
2017年的垃圾处理量不低于 9.0千万吨,现由垃圾处理厂决策部门获
悉 2017年的资金投入量约为 1.8千万元,请你预测 2017年能否完成垃
圾处理任务,若不能,缺口约为多少千万吨?
解:(1)从统计的 5年垃圾处理量中任取 2年的基本事件共 10个:
(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),
(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0),其中垃圾处理量至
少有一年不低于 8.0千万吨的基本事件有 6个:(7. 4,9.2),(7.4,10.0),
(7.0,9.2),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0).
所以,这 2年的垃圾处理量至少有一年不低于 8.0千万吨的概率为
P= 6
10
=
3
5
.
(2)
—
x =
1.5+1.4+1.9+1.6+2.1
5
=1.7,
—
y =
7.4+7.0+9.2+7.9+10.0
5
=8.3,
因为直线y
^
=4x+a
^
过样本中心点(
—
x ,
—
y ),
所以 8.3=4×1.7+a
^
,解得a
^
=1.5.
所以y
^
=4x+1.5.
当 x=1.8时,y
^
=4×1.8+1.5=8.7<9.0,
所以不能完成垃圾处理任务,缺口约为 0.3千万吨.
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