浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十一数学归纳法新人教A版选修2-2 6页

课时跟踪检测（十一）数学归纳法 A级——学考水平达标 ‎1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：选D　要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.‎ ‎2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)‎ A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析：选C　因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①‎ 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②‎ 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－ ‎＝－.故Sk＋1＝Sk＋－.‎ ‎3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)‎ A．该命题对于n＞2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 解析：选B　由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.‎ ‎4．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，‎ ‎∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 6‎ B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：选D　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.‎ ‎5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．16‎ 解析：选C　f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.‎ ‎6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n‎3”‎时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．‎ 解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.‎ 答案：10‎ ‎7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．‎ 解析：观察不等式中分母的变化便知．‎ 答案：＋＋…＋＋＞－ ‎8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋‎1”‎左端增乘的代数式为________________．‎ 解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)，‎ 则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，‎ f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，‎ ‎∴＝＝2(2k＋1)．‎ 答案：2(2k＋1)‎ ‎9．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2‎ ‎＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]‎ 6‎ ‎＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)‎ ‎＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，‎ 即当n＝k＋1时成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．‎ ‎10．观察下列等式：‎ ‎1＝1，‎ ‎2＋3＋4＝9，‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝25，‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.‎ 照此规律下去：‎ ‎(1)写出第五个等式；‎ ‎(2)你能作出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．‎ 解：(1)第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝81.‎ ‎(2)猜想第n个等式为 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n＝1时显然成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，‎ 即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2＋1－5k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2＋4k＋1＝[2(k＋1)－1]2，‎ 而右边＝[2(k＋1)－1]2，‎ 这就是说n＝k＋1时等式也成立．‎ 根据①②知，等式对任何n∈N*都成立．‎ B级——高考能力达标 ‎1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1　　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ 解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.‎ ‎2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)‎ A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 6‎ B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)‎ 解析：选B　因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．‎ ‎3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)‎ A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2‎ C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]‎ 解析：选B　根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，‎ 由于n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，‎ n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，‎ 比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2.‎ ‎4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2‎ 解析：选C　当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．‎ ‎5．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*，则当n＝k＋1时式子应当整理成________．‎ 解析：当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3‎ ‎＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3‎ ‎＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)．‎ 答案：42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)‎ ‎6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：‎ ‎①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即 ‎1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.‎ 6‎ 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②知，对任意n∈N*，等式成立．‎ 上述证明中的错误是________．‎ 解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．‎ 答案：没有用归纳假设 ‎7．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.‎ 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．‎ ‎8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.‎ ‎(1)写出这个数列的前5项；‎ ‎(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．‎ 解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.‎ ‎∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.‎ 同理，可得a4＝，a5＝.‎ 因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.‎ ‎(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：‎ an＝ 下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.‎ ‎①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立．‎ 6‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝.‎ ‎∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，‎ a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，‎ ‎∴ak＋1＝＝·＝＝.‎ 这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是 an＝.‎ ‎∴这个数列的通项公式为 an＝ 6‎