浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测五函数的单调性与导数新人教A版选修2-2 6页

课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数 A级——学考水平达标 ‎1．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是(　　)‎ A．(0,1)　　　　　　　 B．(1，＋∞)‎ C. D. 解析：选D　由f′(x)＝ln x＋1>0，可得x>，∴函数的单调递增区间为.‎ ‎2．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　)‎ A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数 C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数 D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数 解析：选C　因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.‎ ‎3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　∵y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－‎12m≤0，∴m≥.‎ ‎4．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为(　　)‎ 解析：选A　由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－13或x<－1时，f′(x)>0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.‎ ‎5．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则(　　)‎ 6‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R 解析：选D　f′(x)＝3x2＋a.‎ ‎∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.‎ ‎6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．‎ 解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．‎ 答案：(－∞，＋∞) ‎ ‎7．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．‎ 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，‎ 令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，‎ ‎∴－0，‎ ‎∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.‎ 答案：(－∞，0)‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.‎ ‎(1)求a和b的值；‎ ‎(2)试确定函数f(x)的单调区间．‎ 解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，‎ ‎∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，‎ 由得 解得a＝1，b＝－3.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.‎ f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．‎ 由f′(x)>0，得x>1或x<－3；由f′(x)<0，得－30，‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，‎ 且当x∈时，f′(x)>0，‎ 当x∈时，f′(x)<0，‎ 所以f(x)在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ B级——高考能力达标 ‎1．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数(　　)‎ A.　　　　　　　 B．(π，2π)‎ C. D．(2π，3π)‎ 解析：选B　y′＝cos x＋x(－sin x)－cos x＝－xsin x，用排除法知B正确．‎ ‎2．已知函数f(x)＝x＋(x>1)，则有(　　)‎ A．f(2)0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)0，∴a>0.‎ 答案：(0，＋∞)‎ ‎7．设函数f(x)＝ax－－2ln x.‎ 6‎ ‎(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，‎ 所以a＋－1＝0，所以a＝.‎ 所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，‎ 令f′(x)≥0，解得x≤或x≥2，‎ 令f′(x)≤0，解得≤x≤2，‎ 所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，‎ 递减区间为.‎ ‎(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，‎ 因为f′(x)＝a＋－＝，‎ 所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，‎ 所以解得a≥1.‎ 所以a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎8．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.‎ 解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，‎ 当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；‎ 同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；‎ 当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．‎ ‎(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，‎ 所以f(1)＝－2，‎ 由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，‎ 所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．‎ 即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.‎ 6‎ 6‎