2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2 5页

课时分层作业(一)　变化率问题　导数的概念 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为 ‎(　　)‎ A．3　　　　　　 B．2‎ C．1 D．4‎ B　[由已知得：＝3，‎ ‎∴m＋1＝3，∴m＝2.]‎ ‎2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) ‎ ‎【导学号：31062006】‎ A．－3 B．3‎ C．6 D．－6‎ D　[由平均速度和瞬时速度的关系可知，‎ v＝s′(1)＝ (－3Δt－6)＝－6.]‎ ‎3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 (　　)‎ A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对 B　[由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．]‎ ‎4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)‎ A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b C　[∵f′(x0)＝ ‎＝ ＝ (a＋bΔx)＝a，‎ ‎∴f′(x0)＝a.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则 5‎ ＝(　　)‎ ‎ 【导学号：31062007】‎ A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2‎ C　[因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，‎ 所以＝＝4＋2Δx.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.‎ ‎[解析]　Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.‎ ‎[答案]　 ‎7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图113所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________. ‎ ‎【导学号：31062008】‎ 图113‎ ‎[解析]　∵1＝＝kMA，‎ 2＝＝kAB，‎ 3＝＝kBC，‎ 由图象可知：kMA2>1.‎ ‎[答案]　3>2>1‎ ‎8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．‎ ‎[解析]　物体的速度为v＝s′(t)，‎ ‎∴s′(t)＝ ‎＝ ‎＝ ＝2－6t.‎ 5‎ 即v＝2－6t，‎ 所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.‎ ‎[答案]　2‎ 三、解答题 ‎9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值. ‎ ‎【导学号：31062009】‎ ‎[解]　∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.‎ ‎∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋‎2a)＝‎2a，即‎2a＝2，‎ ‎∴a＝1.‎ ‎10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．‎ ‎(1)求此物体的初速度；‎ ‎(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；‎ ‎(3)求t＝0到t＝2时平均速度．‎ ‎[解]　(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．‎ 即物体的初速度为‎3 m/s.‎ ‎(2)v＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．‎ 即此物体在t＝2时的瞬时速度为‎1 m/s，‎ 方向与初速度相反．‎ ‎(3)＝＝＝1(m/s)．‎ 即t＝0到t＝2时的平均速度为‎1 m/s.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图114所示，则一定有(　　)‎ 5‎ 图114‎ A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 B　[由图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．]‎ ‎2．设函数f(x)可导，则 等于(　　) ‎ ‎【导学号：31062010】‎ A．f′(1) B．‎3f′(1)‎ C.f′(1) D．f′(3)‎ C　[ ＝ ‎＝f′(1)．]‎ ‎3．如图115所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．‎ 图115‎ ‎[解析]　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．‎ ‎[答案]　[x3，x4]‎ ‎4．给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a 5‎ ‎＝ .其中正确的结论序号为____．‎ ‎[解析]　①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．‎ ‎[答案]　②③‎ ‎5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)‎ s＝ ‎ ‎【导学号：31062011】‎ 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度．‎ ‎(2)物体的初速度v0.‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度．‎ ‎[解]　 (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，‎ 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，‎ 所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．‎ ‎(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．‎ 因为物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ‎＝＝3Δt－18.‎ 所以物体在t＝0处的瞬时变化率为 li ＝li (3Δt－18)＝－18.‎ 即物体的初速度为－‎18 m/s.‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．‎ 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12.‎ 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12.‎ 即物体在t＝1时的速度为－‎12 m/s.‎ 5‎