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  • 2021-06-24 发布

2020年高中数学第二章推理与证明2

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‎2.2.1‎‎ 第1课时 综合法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.对任意的锐角α、β,下列不等式关系中正确的是(  )‎ A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)>sin α+sin β D.cos(α+β)<cos α+cos β 解析:∵α、β为锐角,∴0<α<α+β<π,‎ ‎∴cos α>cos(α+β),‎ 又cos β>0,∴cos α+cos β>cos(α+β).‎ 答案:D ‎2.在不等边三角形中,a为最长边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足条件(  )‎ A.a2<b2+c2        B.a2=b2+c2‎ C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2‎ 解析:由余弦定理得:cos A=<0,‎ 故b2+c2-a2<0,‎ ‎∴a2>b2+c2.‎ 答案:C ‎3.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b大小关系为(  )‎ A.a>b B.a<b C.a=b D.a≤b 解析:a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当x<0时,0<b<1.‎ ‎∴a>b.‎ 答案:A ‎4.四面体ABCD中,棱AB、AC、AD两两垂直,则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的(  )‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析:如图,设点O是点A在底面BCD内的射影,并连接AO,则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.‎ 由已知易得AB⊥CD.‎ 5‎ 又∵AO⊥面BCD,∴AO⊥CD.‎ ‎∴CD⊥面AOB,∴CD⊥BE.‎ ‎∴O在CD的高线上,同理O在BC,BD的高线上.‎ 答案:D ‎5.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数(  )‎ A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 解析:由已知条件,‎ 可得 由②③得代入①,得+=2b,‎ 即x2+y2=2b2.‎ 故x2,b2,y2成等差数列.‎ 又由①得b2=>ac=· 所以b4>x2·y2,故x2,b2,y2不成等比数列.‎ 答案:B ‎6.设e1、e2是两个不共线的向量,A=2e1+ke2,C=e1+3e2,若A、B、C三点共线,则k=________.‎ 解析:∵A、B、C三点共线,‎ ‎∴存在λ使A=λ,‎ 即2e1+ke2=λ(e1+3e2).‎ ‎∴λ=2,k=6.‎ 答案:6‎ ‎7.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0.‎ 则cos(α-β)=________.‎ 解析:∵sin α+sin β+sin γ=0,‎ cos α+cos β+cos γ=0,‎ ‎∴,‎ 两式平方相加得:2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,‎ 5‎ ‎∴cos(α-β)=-.‎ 答案:- ‎8.设a>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)].‎ 解析:∵(1+)2-(1+a)(1+b)=1+2+ab-1-a-b-ab ‎=2-(a+b)=-(-)2≤0,‎ ‎∴(1+)2≤(1+a)(1+b),‎ ‎∴lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].‎ 答案:≤‎ ‎9.已知a,b>0,且a+b=1,求证:+≥4.‎ 证明:∵a,b>0,且a+b=1.‎ ‎∴a+b≥2,∴≤,∴+==≥4.‎ 当且仅当a=b时,取“=”号.‎ ‎10.已知,,成等差数列,求证,,也成等差数列.‎ 证明:因为,,成等差数列,‎ 所以+=.‎ 即=,所以b(a+c)=‎2ac,‎ 所以+==‎ ‎== ‎= ‎==,‎ 所以,,也成等差数列.‎ ‎[B组 能力提升]‎ 5‎ ‎1.p=+,q=·(m、n、a、b、c、d均为正数),则p、q的大小为(  )‎ A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 解析:q= ‎≥=+=p.‎ 答案:B ‎2.(2014·高考山东卷)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A.x±y=0 B.x±y=0‎ C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ 解析:椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·=,所以a4-b4=a4,即a4=4b4,所以a=b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x,即x±y=0.‎ 答案:A ‎3.如果不等式|x-a|<1成立的充分非必要条件是<x<,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,‎ 由题意知(,)(a-1,a+1),则有,‎ ‎(且等号不同时成立)解得≤a≤.‎ 答案:≤a≤ ‎4.如图,在三棱锥VABC中,M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心.‎ 求证:MN∥底面ABC.‎ 5‎ 证明:如图,连接VM、VN并延长,分别交AC、BC于P、Q两点,连接PQ.‎ 由已知可知,M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心.在△VPQ中,=,=,‎ 所以=,‎ 所以MN∥PQ.‎ 因为MN⊄底面ABC,PQ⊂底面ABC,‎ 所以MN∥底面ABC.‎ ‎5.若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.‎ ‎(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围.‎ ‎(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.‎ 解析:(1)由题意得|x2-1|<3.即-30.‎ 又a2b+ab2=ab(a+b)>2ab,‎ 所以a3+b3>a2b+ab2>2ab>0,‎ 所以a3+b3-2ab>a2b+ab2-2ab>0,‎ 所以|a2b+ab2-2ab|<|a3+b3-2ab|,‎ 所以a2b+ab2比a3+b3接近2ab.‎ 5‎