2020高中数学 第一章 三角函数 1 9页

‎1.2.2　‎同角三角函数的基本关系 学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．平方关系 ‎(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.‎ ‎2．商数关系 ‎(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．‎ ‎(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．‎ 思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？‎ ‎[提示]　成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)对任意角α，＝tan 都成立．(　　)‎ ‎(2)因为sin2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)‎ ‎(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．(　　)‎ ‎[解析]　由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．化简的结果是(　　)‎ A．cos B．sin C．－cos D．－sin C　[因为是第二象限角，‎ 所以cos＜0，‎ 9‎ 所以＝＝＝－cos.]‎ ‎3．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝________.‎ ‎－　[因为α为第四象限角，且cos α＝，‎ 所以sin α＝－＝－＝－，‎ 所以tan α＝＝－.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 直接应用同角三角函数关系求值 ‎　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.‎ ‎(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 【导学号：84352041】‎ ‎[思路探究]　(1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.‎ ‎(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.‎ ‎(1)－　[(1)由已知得 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，‎ 所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，‎ 所以cos α＝－.]‎ ‎(2)∵cos α＝－＜0，‎ ‎∴α是第二或第三象限的角．‎ 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝，‎ tan α＝＝＝－.‎ 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝.‎ ‎[规律方法]　利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：‎ 9‎ ‎(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．‎ ‎(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．‎ 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．‎ ‎[解]　∵sin α＋3cos α＝0，‎ ‎∴sin α＝－3cos α.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，‎ 即10cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝±.‎ 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，‎ ‎∴角α的终边在第二或第四象限．‎ 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；‎ 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.‎ 灵活应用同角三角函数关系式求值 ‎　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.‎ ‎(2)已知＝2，计算下列各式的值．‎ ‎①；‎ ‎②sin2α－2sin αcos α＋1. 【导学号：84352042】‎ ‎[思路探究]　(1)法一→→→ 法二→→ ‎(2)→ ‎(1)－　[法一：(构建方程组)‎ 9‎ 因为sin α＋cos α＝，①‎ 所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，‎ 即2sin αcos α＝－.‎ 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.‎ 所以sin α－cos α＝＝＝.②‎ 由①②解得sin α＝，cos α＝－，‎ 所以tan α＝＝－.‎ 法二：(弦化切)‎ 同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，‎ 整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.‎ 由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.‎ ‎(2)由＝2，化简，‎ 得sin α＝3cos α，‎ 所以tan α＝3.‎ ‎①法一(换元)原式＝＝＝.‎ 法二(弦化切)原式＝＝＝.‎ ‎②原式＝＋1‎ ‎＝＋1＝＋1＝.]‎ 母题探究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？‎ ‎[解]　由例(1)求出2sin αcos α＝－，‎ 因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，‎ 所以sin α－cos α＝－ ‎＝－＝－.‎ 9‎ 与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，‎ 所以tan α＝＝－.‎ ‎2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝”改为“sin α·cos α＝－”其他条件不变，求cos α－sin α.‎ ‎[解]　因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，‎ cos α－sin α＝－＝－＝－.‎ ‎[规律方法]　1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.‎ ‎2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．‎ 提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.‎ 应用同角三角函数关系式化简 ‎　(1)化简＝________.‎ ‎(2)化简·.(其中α是第三象限角)‎ ‎[思路探究]　(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．‎ ‎(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．‎ ‎(1)1　[(1)原式＝＝＝1.‎ ‎(2)原式＝· ‎＝· ‎＝· 9‎ ‎＝·.‎ 又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.‎ 所以原式＝·＝－1.]‎ ‎[规律方法]　三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.‎ (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.‎ (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.‎ 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．化简tan α，其中α是第二象限角．‎ ‎[解]　因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.‎ 故tan α＝tan α＝tan α＝＝·＝－1.‎ 应用同角三角函数关系式证明 ‎[探究问题]‎ ‎1．证明三角恒等式常用哪些方法？‎ 提示：(1)从右证到左．‎ ‎(2)从左证到右．‎ ‎(3)证明左右归一．‎ ‎(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．‎ ‎2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“‎1”‎的代换．‎ 提示：在求证＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，‎ 9‎ 所以等式左边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝sin α＋cos α＝右边．‎ ‎　求证：＝. ‎ ‎ 【导学号：84352043】‎ ‎[思路探究]　解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．‎ ‎[证明]　法一：(切化弦)‎ 左边＝＝，‎ 右边＝＝.‎ 因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，‎ 所以＝，所以左边＝右边．‎ 所以原等式成立．‎ 法二：(由右至左)‎ 因为右边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝左边，‎ 所以原等式成立．‎ ‎[规律方法]　1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．‎ ‎2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“‎1”‎的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．‎ 提醒：解决此类问题要有整体代换思想．‎ 9‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．求证：(1)＝；‎ ‎(2)2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0.‎ ‎[证明]　(1)左边 ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝右边，‎ ‎∴原等式成立．‎ ‎(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1‎ ‎＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)－3(sin4 θ ‎＋cos4 θ)＋1‎ ‎＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1‎ ‎＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1‎ ‎＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，‎ ‎∴原等式成立．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)‎ A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＝－ D．tan α＝ B　[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．]‎ ‎2．sin α＝，则sin2α－2cos2α的值为(　　)‎ ‎ 【导学号：84352044】‎ 9‎ A．－　　 B．－ C． D． B　[因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，‎ 所以sin2α－2cos2α＝－2×＝－.]‎ ‎3．已知tan α＝－，则的值是(　　)‎ A．　　　　 B．3 ‎ C．－　　　　 D．－3‎ A　[因为tan α＝－，‎ 所以＝＝＝.]‎ ‎4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.‎ ‎－　[因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－.]‎ ‎5．(1)化简，其中α是第二象限角．‎ ‎(2)求证：1＋tan2α＝. ‎ ‎【导学号：84352045】‎ ‎[解]　(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，‎ 所以sin αcos α＜0，‎ 所以＝ ‎＝＝－sin αcos α.‎ ‎(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.‎ 9‎