高中数学第一章空间向量与立体几何1-1-3空间向量的坐标与空间直角坐标系课件新人教B版选择性必修第一册 1 43页

1 . 1 . 3 　 空间向量的坐标与空间直角坐标系 核心 素养 1 . 在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示 . ( 数学抽象 ) 2 . 能正确地运用空间向量的坐标 , 进行向量的线性运算与数量积运算 . ( 数学运算 ) 3 . 初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题 . ( 逻辑推理、直观想象 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 我们所在的教室是一个立体图形 , 即是一个三维立体图 , 如果以教室的一个墙角为坐标原点 , 沿着三条墙缝作射线可以得到三条坐标轴 , 有了这三条坐标轴 , 就可以形成一个可以度量的三维空间 , 也就是建立了空间直角坐标系 ( 类比平面直角坐标系 ) . 如果将图中的小鸟所在的树枝看成 “ 向量 ”, 平行移动这个 “ 向量 ”, 那么它的坐标有变化吗 ? 树枝的端点坐标有变化吗 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 空间中向量的坐标 一般地 , 如果空间向量的基底 { e 1 , e 2 , e 3 } 中 , e 1 , e 2 , e 3 都是单位向量 , 而且这三个向量两两垂直 , 就称这组基底为单位正交基底 ; 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解 , 而且 , 如果 p =x e 1 +y e 2 +z e 3 , 则称有序实数组 ( x , y , z ) 为向量 p 的坐标 , 记作 p = ( x , y , z ), 其中 x , y , z 都称为 p 的坐标分量 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知向量 p 在基底 { a , b , c } 下的坐标为 (8,6,4), 其中 a=i+j , b=j+k , c=k+i , 则向量 p 在基底 { i , j , k } 下的坐标是 ( 　　 ) A.(12,14,10) 　　　　　 B . (10,12,14) C.(14,12,10) D . (4,3,2) 解析 : 由题意知 p= 8 a+ 6 b+ 4 c= 8 i+ 8 j+ 6 j+ 6 k+ 4 k+ 4 i= 12 i+ 14 j+ 10 k , 故向量 p 在基底 { i , j , k } 下的坐标为 (12,14,10) . 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 2 . 空间向量的运算与坐标的关系 空间向量 a , b , 其坐标形式为 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ), b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b a+b= (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ,z 1 +z 2 ) 减法 a-b a-b= (x 1 -x 2 ,y 1 -y 2 ,z 1 -z 2 ) 数乘 λ a λ a= ( λ x 1 , λ y 1 , λ z 1 ) 数量积 a·b a·b= x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 激趣诱思 知识点拨 特别地 , (1) 如果 μ , v 是两个实数 , 那么 μ a +v b = ( μ x 1 +vx 2 , μ y 1 +vy 2 , μ z 1 +vz 2 ) . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知向量 a = (3, - 2,1), b = ( - 2,4,0), 则 4 a+ 2 b 等于 ( 　　 ) A.(16,0,4) B.(8, - 16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 解析 : 4 a + 2 b = 4(3, - 2,1) + 2( - 2,4,0) = (12, - 8,4) + ( - 4,8,0) = (8,0,4) . 答案 : D (2) 向量 a = (2, - 3 , ), b = (1,0,0), 则 cos < a , b >= 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知 a = (2,4,5), b = (3, x , y ), 若 a ∥ b , 则 ( 　　 ) 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 4 . 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置 , 在平面直角坐标系 xOy 的基础上 , 通过原点 O , 再作一条数轴 z , 使它与 x 轴 , y 轴都 垂直 , 这样它们中的任意两条都互相垂直 . 轴的方向通常这样选择 : 从 z 轴的正方向看 , x 轴的正半轴沿 逆 时针方向转 90 ° 能与 y 轴的正半轴重合 , 这样就在空间建立了一个空间直角坐标系 Oxyz , O 叫做坐标原点 . 每两条坐标轴分别确定的平面 xOy , yOz , zOx 叫做坐标平面 , 三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限 , 如图所示 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间 , 有了一一对应关系 , 空间一点 M 的位置完全由有序实数组 ( x , y , z ) 确定 , 因此将 ( x , y , z ) 称为点 M 的坐标 , 记作 M ( x , y , z ) . 此时 , x , y , z 都称为点 M 的坐标分量 , 且 x 称为点 M 的横坐标 ( 或 x 坐标 ), y 称为点 M 的纵坐标 ( 或 y 坐标 ), z 称为点 M 的竖坐标 ( 或 z 坐标 ) . (2) 八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点 : Ⅰ :(+,+,+); Ⅱ :(-,+,+); Ⅲ :(-,-,+); Ⅳ :(+,-,+); Ⅴ :(+,+,-); Ⅵ :(-,+,-); Ⅶ :(-,-,-); Ⅷ :(+,-,-). 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 点 P (1,2,1) 关于 xOz 平面的对称点的坐标是 ( 　　 ) A.(1, - 2,1) 　　　　 B .( - 1, - 2,1) C .(1,2, - 1) D .( - 1, - 2, - 1) (2) 如图 , 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 取 D 点为原点建立空间直角坐标系 , O , M 分别是 AC , DD 1 的中点 , 写出下列向量的坐标 : 激趣诱思 知识点拨 答案 : (1)A 　 (2)( - 2,0,1) 　 (1,1,2 ) 激趣诱思 知识点拨 5 . 空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标 设 A ( x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间直角坐标系中的两点 , 则 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知点 A ( - 3,1,5) 与点 B (4,3,1), 则 AB 的中点坐标是 ( 　　 ) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 空间向量坐标的计算 例 1 (1) 已知向量 a= (4, - 2, - 4), b= (6, - 3,2), 则 (2 a+ 3 b )·( a- 2 b ) =________. 答案 : (1) - 244 　 ( 2)C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 对于空间向量坐标的计算有以下两种途径 : (1) 直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来 , 然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 . 本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解 . 对于 (1) 问中运算方法还可以先求出 2 a + 3 b 与 a - 2 b 的坐标再计算 . (2) 由条件求向量或点的坐标 首先把向量按坐标形式设出来 , 然后通过建立方程组 , 解方程 ( 组 ) 求出其坐标 . 变式中的求参问题便属于这一类型题目 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 若向量 a = (1,1, x ), b = (1,2,1), c = (1,1,1), 且满足条件 ( c-a )·(2 b ) = - 2, 则 x= 　　　　 .   解析 : 据题意 , 有 c-a = (0,0,1 -x ),2 b = (2,4,2), 故 ( c-a )·2 b= 2(1 -x ) =- 2, 解得 x= 2 . 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 空间向量平行、垂直的坐标 表示 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 判断空间向量垂直或平行的步骤 . (1) 向量化 : 将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行 . (2) 对于 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ), b = ( x 2 , y 2 , z 2 ), 根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直 ; 根据 x 1 = λ x 2 , y 1 = λ y 2 , z 1 = λ z 2 ( λ ∈ R ) 或 ( x 2 , y 2 , z 2 都不为 0) 判断两向量是否平行 . 2 . 求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性 , 解决平行或垂直时用的坐标 , 含参数的还要注意分类讨论思想的应用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例改为 “ 若 k a - b 与 k a + 2 b 互相垂直 ”, 求 k 的值 . 解 : 由题意知 k a - b = ( k+ 1, k , - 2), k a + 2 b = ( k- 2, k ,4), ∵ ( k a - b ) ⊥ ( k a + 2 b ), ∴ ( k a - b )·( k a + 2 b ) = 0, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 空间向量的夹角与长度的计算 例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F , G 分别是 DD 1 , BD , BB 1 的中点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 以 D 为坐标原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 通过分析几何体的结构特征 , 建立适当的坐标系 , 使尽可能多的点落在坐标轴上 , 以便写点的坐标时便捷 . 对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述 . 建立坐标系后 , 写出相关点的坐标 , 然后再写出相应向量的坐标表示 , 把向量坐标化 , 然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图 , 在直三棱柱 ( 侧棱垂直于底面的棱柱 ) ABC-A 1 B 1 C 1 中 , CA=CB= 1, ∠ BCA= 90 ° , 棱 AA 1 = 2, N 为 A 1 A 的中点 . (1) 求 BN 的长 ;(2) 建立直角坐标系 , 求 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 如图 , 以 C 为坐标原点 , CA , CB , CC 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 Cxyz. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 思想方法 —— 用坐标法解决平行或垂直问题 案例 1 设向量 a = (1, x ,1 -x ), b = (1 -x 2 , - 3 x , x+ 1), 求满足下列条件时 , 实数 x 的值 . (1) a ∥ b ;(2) a ⊥ b . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) ① 当 x= 0 时 , a = (1,0,1), b = (1,0,1), a = b , 满足 a ∥ b . ② 当 x= 1 时 , a = (1,1,0), b = (0, - 3,2), 不满足 a ∥ b , ∴ x ≠1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 案例 2 如图 , 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直 , CE ⊥ AC , EF ∥ AC , AB = , CE=EF= 1 . 求证 :(1) AF ∥ 平面 BDE ; (2) CF ⊥ 平面 BDE ; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : (1) 如图 , 设 AC 与 BD 交于点 G , 连接 EG. ∵ EF ∥ AG , 且 EF= 1, AG= AC= 1 , ∴ 四边形 AGEF 为平行四边形 , ∴ AF ∥ EG. ∵ EG ⊂ 平面 BDE , AF ⊄ 平面 BDE , ∴ AF ∥ 平面 BDE. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳提升 1 . 解决此类问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件 , 借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算 . 在应用坐标形式下的平行条件时 , 一定注意结论成立的前提条件 , 在条件不明确时要分类讨论 . 2 . 这两个案例渗透了分类讨论、转化、数形结合等多种数学思想 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知 M (5, - 1,2), A (4,2, - 1), O 为坐标原点 , 若 , 则点 B 的坐标应为 ( 　　 ) A.( - 1,3, - 3) B . (9,1,1) C.(1, - 3,3) D . ( - 9, - 1, - 1 ) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 在空间直角坐标系中 , 点 P ( - 2,1,4) 关于点 M (2, - 1, - 4) 的对称点的坐标是 ( 　　 ) A.(0,0,0) B.(2, - 1, - 4) C.(6, - 3, - 12) D.( - 2,3,12) 解析 : 设对称点为 P 3 , 则点 M 为线段 PP 3 的中点 , 设 P 3 ( x , y , z ), 由中点坐标公式 , 可得 x= 2×2 - ( - 2) = 6, y= 2×( - 1) - 1 =- 3, z= 2×( - 4) - 4 =- 12, 所以 P 3 (6, - 3, - 12) . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . ( 多选 ) 已知 a= (2, - 3,1), 则下列向量中不与 a 平行的是 ( 　　 ) A.(1,1,1) B . ( - 4,6, - 2) C.(2, - 3,5) D . ( - 2, - 3,5) 解析 : 若 a ∥ b , b ≠ 0 , 必有 b = λ a . 则 b= ( - 4,6, - 2) 时 , b=- 2(2, - 3,1) =- 2 a , 所以 a ∥ b. 经检验 , 其他向量均与 a 不平行 . 答案 : ACD 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知向量 a= (1,1,0), b= ( - 1,0,2), 且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直 , 则 k 的值是 　　　　 .   解析 : 依题意得 ( k a+b )·(2 a-b ) = 0, 所以 2 k| a| 2 -k a · b+ 2 a · b-|b| 2 = 0, 而 |a| 2 = 2, |b| 2 = 5, a · b=- 1, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 6 . 在棱长是 2 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别为 AB , A 1 C 的中点 . 应用空间向量方法求解下列问题 . (1) 求 EF 的长 . (2) 证明 : EF ∥ 平面 AA 1 D 1 D ; (3) 证明 : EF ⊥ 平面 A 1 CD. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测