高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册 1 56页

1 . 2 . 2 　 空间中的平面与空间向量 核心 素养 1 . 理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量 . ( 数学运算 ) 2 . 会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系 . ( 直观想象 ) 3 . 理解并会用三垂线定理及其逆定理 . ( 逻辑推理 ) 思维 脉络 激趣诱思 知识点拨 牌楼 , 与牌坊类似 , 是中国传统建筑之一 , 最早见于周朝 . 在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造 . 旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种 , 多设于要道口 . 牌楼中有一种柱门形结构 , 一般较高大 . 如图 , 牌楼的柱子与地面是垂直的 , 如果牌楼上部的下边线与柱子垂直 , 我们就能知道下边线与地面平行 . 这是为什么呢 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 平面的法向量 如果 α 是空间中的一个平面 , n 是空间中的一个非零向量 , 且表示 n 的有向线段所在的直线与平面 α 垂直 , 则称 n 为平面 α 的一个法向量 . 此时 , 也称 n 与平面 α 垂直 , 记作 n ⊥ α . 微思考 一个平面的法向量是否唯一 ? 提示 : 不唯一 , 一个平面的法向量有无数多个 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 平面的法向量的求法 在空间直角坐标系下 , 求平面的法向量的一般步骤 : (1) 设平面的法向量为 n = ( x , y , z ); (2) 找出 ( 求出 ) 平面内的两个 不共线 的向量 a = ( a 1 , b 1 , c 1 ), b = ( a 2 , b 2 , c 2 ); (4) 解方程组 , 取其中的 一组解 , 即得平面的一个法向量 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 点 A ( a ,0,0), B (0, b ,0), C (0,0, c ), 则平面 ABC 的一个法向量为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A . ( bc , ac , ab ) B . ( ac , ab , bc ) C . ( bc , ab , ac ) D . ( ab , ac , bc ) 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 3 . 用空间向量处理平行或垂直关系 (1) 如果 v 是直线 l 的一个方向向量 , n 是平面 α 的一个法向量 , 则 n ∥ v ⇔ l ⊥ α ; n ⊥ v ⇔ l ∥ α , 或 l ⊂ α . (2) 如果 n 1 是平面 α 1 的一个法向量 , n 2 是平面 α 2 的一个法向量 , 则 n 1 ⊥ n 2 ⇔ α 1 ⊥ α 2 ; n 1 ∥ n 2 ⇔ α 1 ∥ α 2 , 或 α 1 与 α 2 重合 . 名师点析 解答这类问题的关键 : 一是要清楚直线的方向向量 , 平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系 ; 二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法 . 在把向量问题转化为几何问题时 , 要注意两者的区别 , 直线的方向向量和平面平行 , 则直线可能在平面内 , 也可能与平面平行 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 设直线 l 的一个方向向量 d = (6,2,3), 平面 α 的一个法向量 n = ( - 1,3,0), 则直线 l 与平面 α 的位置关系是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. 垂直 B . 平行 C. 直线 l 在平面 α 内 D. 直线 l 在平面 α 内或平行 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直 , 则该直线与平面平行 . ( 　　 ) (2) 直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时 , 直线与平面垂直 . ( 　　 ) (3) 两个平面的法向量平行 , 则这两个平面平行或重合 ; 两个平面的法向量垂直 , 则这两个平面垂直 . ( 　　 ) 答案 : (1) √ 　 (2) √ 　 (3) √ 激趣诱思 知识点拨 4 . 三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理 : 如果 平面内 的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的 射影 垂直 , 则它也和这条 斜线 垂直 . 三垂线定理的逆定理 : 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 , 则它也和这条 斜线 在该平面内的 射影 垂直 . 微思考 三垂线定理及其逆定理有何区别与联系 ? 提示 : 联系 : 都是一面四线 , 三种垂直关系 . 区别 : ① 从条件或结论上看 , 三垂线定理是 “ 线与射影垂直 ⇒ 线与斜线垂直 ”, 而逆定理恰好相反 ; ② 从作用上看 , 三垂线定理是 “ 共面直线垂直 ⇒ 异面直线垂直 ”, 而逆定理恰好相反 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 求平面的法向量 例 1 如图 , 四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 , PA ⊥ 平面 ABCD , E 为 PD 的中点 .AB=AP= 1, AD = , 试建立恰当的空间直角坐标系 , 求平面 ACE 的一个法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 通过此类例题的解答 , 在求平面的法向量时要注意 : (1) 选向量 : 在选取平面内的向量时 , 要选取不共线的两个向量 . (2) 取特值 : 在求 n 的坐标时 , 可令 x , y , z 中一个为特殊值得另两个值 , 得到平面的一个法向量 . (3) 注意 0: 提前假定法向量 n = ( x , y , z ) 的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变 , 试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知 △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (2,1,0), B (0,2,3), C (1,1,3), 试求出平面 ABC 的一个法向量 . 解 : 设平面 ABC 的法向量为 n = ( x , y , z ) . ∵ A (2,1,0), B (0,2,3), C (1,1,3), 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2, E , F 分别是 BB 1 , DD 1 的中点 , 求证 : (1) FC 1 ∥ 平面 ADE ; (2) 平面 ADE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : (1) 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz , 则 D (0,0,0), A (2,0,0), C (0,2,0), C 1 (0,2,2), E (2,2,1), F (0,0,1), B 1 (2,2,2), 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明线面、面面平行问题的方法 (1) 用向量法证明线面平行 : ① 证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内 ; ② 证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内 ; ③ 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内 , 如 (1) 中 , FC 1 ⊄ 平面 ADE 一定不能漏掉 . (2) 利用空间向量证明面面平行 , 通常是证明两平面的法向量平行 . 当然要注意当法向量坐标中有 0 时 , 要使用 n 1 = λ n 2 这一形式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , PA ⊥ 平面 ABCD , PB 与底面所成的角为 45 ° , 底面 ABCD 为直角梯形 , ∠ ABC= ∠ BAD= 90 ° , PA=BC= AD= 1 , 问在棱 PD 上是否存在一点 E , 使 CE ∥ 平面 PAB ? 若存在 , 求出 E 点的位置 ; 若不存在 , 请说明理由 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : 存在点 E 使 CE ∥ 平面 PAB. 以 A 为坐标原点 , 分别以 AB , AD , AP 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 Axyz , ∴ P (0,0,1), C (1,1,0), D (0,2,0), 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明线面垂直问题 例 3 如图所示 , 正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的所有棱长都为 2, D 为 CC 1 的中点 . 求证 : AB 1 ⊥ 平面 A 1 BD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : 如图所示 , 取 BC 的中点 O , 连接 AO. 因为 △ ABC 为正三角形 , 所以 AO ⊥ BC. 因为在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 , 且平面 ABC ∩ 平面 BCC 1 B 1 =BC , AO ⊂ 平面 ABC , 所以 AO ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 取 B 1 C 1 的中点 O 1 , 以 O 为坐标原点 , OB , OO 1 , OA 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 Oxyz , 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 用坐标法证明线面垂直的常用方法 : 方法一 : 基向量法 (1) 建立空间直角坐标系 . (2) 将直线的方向向量用坐标表示 . (3) 找出平面内两条相交直线 , 并用坐标表示它们的方向向量 . (4) 分别计算两组向量的数量积 , 得到数量积为 0 . 方法二 : 坐标法 (1) 建立空间直角坐标系 . (2) 将直线的方向向量用坐标表示 . (3) 求出平面的法向量 . (4) 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 . 2 . 对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题 , 如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂 . 而建系后只需一切交给坐标即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中增加条件 , E , F 分别是 BC , BB 1 的中点 , 求证 : EF ⊥ 平面 ADE . 即 EF ⊥ EA , EF ⊥ ED , 又 EA ∩ ED=E , EA , ED ⊂ 平面 ADE , ∴ EF ⊥ 平面 ADE. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图所示 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别是 BB 1 , D 1 B 1 的中点 . 求证 : EF ⊥ 平面 B 1 AC. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : 方法一 　 设正方体的棱长为 2, 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 A (2,0,0), C (0,2,0), B 1 (2,2,2), E (2,2,1), F (1,1,2) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明面面垂直问题 例 4 如图 , 在四棱锥 E-ABCD 中 , AB ⊥ 平面 BCE , CD ⊥ 平面 BCE , AB=BC=CE= 2 CD= 2, ∠ BCE= 120 ° , 求证 : 平面 ADE ⊥ 平面 ABE. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : 取 BE 的中点 O , 连接 OC , 又 AB ⊥ 平面 BCE , 所以以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz ( 如图所示 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 又 AB ⊥ 平面 BCE , OC ⊂ 平面 BCE , 所以 AB ⊥ OC. 因为 BE ⊥ OC , AB ∩ BE=B , AB , BE ⊂ 平面 ABE , 所以 OC ⊥ 平面 ABE. 反思感悟 证明面面垂直的两种方法 (1) 常规法 : 利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明 . (2) 向量法 : 证明两个平面的法向量互相垂直 . 此例就是用的向量法 , 关键是明确两个平面的法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 4 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别是 BB 1 , CD 的中点 . (1) 求证 : 平面 AED ⊥ 平面 A 1 FD 1 ; (2) 在直线 AE 上求一点 M , 使得 A 1 M ⊥ 平面 AED. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (1) 证明 : 以 D 为坐标原点 , 分别以 DA , DC , DD 1 所在直线为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 2, 则 D (0,0,0), A (2,0,0), E (2,2,1), F (0,1,0), A 1 (2,0,2), D 1 (0,0,2), 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 三垂线定理及其逆定理 例 5 如图 , 空间四边形 ABCD 中 , 点 A 在平面 BCD 内的射影 O 1 是 △ BCD 的垂心 , 求证 : B 在平面 ACD 内的射影 O 2 必是 △ ACD 的垂心 . 分析 应用三垂线定理一定要分清斜线与射影 , 并注意第三条垂线要与射影在同一平面内 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明 : 连接 DO 1 , BO 1 , AO 2 , CO 2 . ∵ O 1 是 △ BCD 的垂心 , ∴ DO 1 ⊥ BC. 又 AO 1 ⊥ 平面 BCD , ∴ BC ⊥ AD ( 三垂线定理 ) . ∵ BC 是平面 ACD 的斜线 , BO 2 ⊥ 平面 ACD , CO 2 是 BC 在平面 ACD 内的射影 , ∴ CO 2 ⊥ AD ( 三垂线定理的逆定理 ) . 同理 , AO 2 ⊥ CD. ∴ O 2 是 △ ACD 的垂心 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直 , 在引用时要清楚以下问题 : (1) 从条件上看 , 三垂线定理的条件是 “ 和射影垂直 ”; 其逆定理的条件是 “ 和斜线垂直 ” . 显然本例中三垂线定理和三垂线定理的逆定理都充分利用了 . (2) 从功能上看 , 三垂线定理用于解决已知共面垂直 , 证明异面垂直的问题 ; 逆定理正好相反 . 解决垂心问题需要两次垂直的证明 , 都能用上定理和其逆定理的框架结构 . 2 . 三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节 用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形 , 创设应用定理的环境 . 构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节 :(1) 确定投影面 ;(2) 作出垂线 ;(3) 确定射影 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5 如 图 , BC 是 Rt △ ABC 的斜边 , 过点 A 作 △ ABC 所在平面 α 的垂线 AP , 连接 PB , PC , 过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D , 连接 PD , 那么图中的直角三角形共有 ( 　　 ) A.4 个 　　 B.6 个 C.7 个 D.8 个 解析 : ∵ AP ⊥ 平面 α , ∴ PD 在平面 α 内的射影为 AD , ∵ AD ⊥ BC , 由三垂线定理可得 , PD ⊥ BC , ∴ △ ABC , △ ABD , △ ACD , △ PBD , △ PCD , △ PAB , △ PAD , △ PAC 均为直角三角形 , 共 8 个 . 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 6 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 , 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 . 已知 : ∠ BAC 在平面 α 内 , 点 P 在 α 外 , PE ⊥ AB , PF ⊥ AC , PO ⊥ α , 垂足分别是 E , F , O , PE=PF. 求证 : ∠ BAO= ∠ CAO. 证明 : 连接 PA , OE , OF. ∵ PE ⊥ AB , PF ⊥ AC , PO ⊥ α , ∴ AB ⊥ OE , AC ⊥ OF ( 三垂线定理的逆定理 ), ∵ PE=PF , PA=PA , ∴ Rt △ PAE ≌ Rt △ PAF. ∴ AE=AF. 又 AO=AO , ∴ Rt △ AOE ≌ Rt △ AOF. ∴∠ BAO= ∠ CAO. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 平行或垂直证明中的探索类问题 一、平行证明中的探索类问题 案例 1 如图所示 , 在正方体 AC 1 中 , O 为底面 ABCD 中心 , P 是 DD 1 的中点 , 设 Q 是 CC 1 上的点 , 当点 Q 在什么位置时 , 平面 D 1 BQ ∥ 平面 PAO. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : 如图所示 , 分别以 DA , DC , DD 1 所在直线为 x , y , z 轴 , 建立空间直角坐标系 , 在 CC 1 上任取一点 Q , 连接 BQ , D 1 Q. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 归纳提升 (1) 求点的坐标 : 可设出对应点的坐标 , 根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线 , 进而建立与所求点的坐标有关的等式 . (2) 由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式 , 通过应用推理的方式与方法 , 能较好地培养学生的合乎逻辑的思维品质 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 二、垂直证明中的探索类问题 案例 2 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 是棱 BC 的中点 , 试在棱 CC 1 上求一点 P , 使得平面 A 1 B 1 P ⊥ 平面 C 1 DE. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : 如图 , 以 D 为原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 . 设正方体的棱长 为 1, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 归纳提升 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高 , 分析时应特别注意 . 本例由题意设出探求点的坐标 , 利用两平面垂直 , 法向量的位置关系及严密的逻辑推理 , 从而得出点 P 的坐标 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1 . 若直线 l 的方向向量 a = (1,0,2), 平面 α 的法向量为 n = ( - 2,0, - 4), 则 ( 　　 ) A. l ∥ α B .l ⊥ α C .l ⊂ α D .l 与 α 斜交 解析 : ∵ n =- 2 a , ∴ a ∥ n , 即 l ⊥ α . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 3 . 若平面 α , β 的法向量分别为 a = (2, - 1,0), b = ( - 1, - 2,0), 则 α 与 β 的位置关系是 ( 　　 ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 解析 : a · b=- 2 + 2 + 0 = 0, ∴ a ⊥ b , ∴ α ⊥ β . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4 . 如 图 , 在 △ ABC 中 , ∠ ACB= 90 ° , 直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC , 动点 P ∈ l , 当点 P 逐渐远离点 A 时 , ∠ PCB 的度数 ( 　　 ) A. 逐渐变 大 B . 逐渐变小 C. 不变 D . 先变大再变小 解析 : 由题意可得 , AC ⊥ BC. ∵ PA ⊥ 平面 ABC , 由三垂线定理的逆定理可得 , BC ⊥ PC. ∴∠ PCB= 90 ° , 即 ∠ PCB 的度数保持不变 . 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : ①② ③ 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 6 . 如图所示 , 在空间图形 P-ABCD 中 , PC ⊥ 平面 ABCD , PC= 2, 在四边形 ABCD 中 , CD ∥ AB , ∠ ABC= ∠ BCD= 90 ° , AB= 4, CD= 1, 点 M 在 PB 上 , 且 PB= 4 PM , ∠ PBC= 30 ° , 求证 : CM ∥ 平面 PAD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 7 . 在四面体 ABCD 中 , AB ⊥ 平面 BCD , BC=CD , ∠ BCD= 90 ° , ∠ ADB= 30 ° , E , F 分别是 AC , AD 的中点 , 求证 : 平面 BEF ⊥ 平面 ABC. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测