2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-7 6页

‎8.7.1 利用空间向量求线线角与线面角 考点一　异面直线所成的角 ‎ ‎1.在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A‎1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角为________. ‎ ‎3.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A‎1F所成角的余弦值为,则λ的值为________.  ‎ ‎【解析】1.选C.建立如图所示空间直角坐标系.‎ 设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).‎ 所以cos<,>==‎ ‎==.‎ ‎2.建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2,‎ - 6 -‎ 则A(0,0,0),M(0,2,1),‎ P(t,0,2)(0≤t≤2),Q(1,1,0),故=(0,2,1),=(1-t,1,-2),而·=0,故⊥.‎ 所以PQ与AM所成的角为.‎ 答案:‎ ‎3.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则 A1,D1,E,A ,‎ 所以=,=+=+λ=+λ=,所以 cos<,>===,解得λ=(λ=-舍去).‎ 答案:‎ ‎　求异面直线所成的角的两个关注点 ‎(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,‎ 是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.‎ ‎(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0,,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所以要注意二者的区别与联系,应有cos θ=|cos α|.‎ 考点二　直线与平面所成的角 ‎ - 6 -‎ ‎【典例】(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2, PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,‎ 所以OP⊥AC,且OP=2.‎ 连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)连接OM,如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), =(0,2,2),取平面PAC的法向量=(2,0,0).‎ 设M(a,2-a,0)(0=.‎ 由已知得|cos<,n>|=.‎ 所以=.‎ 解得a=-4(舍去),a=.‎ 所以n=.‎ 又=(0,2,-2),‎ 所以cos<, n >=.‎ 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.‎ ‎　利用向量法求线面角的方法 ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);‎ ‎(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.‎ 如图,四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1的底面为菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.‎ ‎(1)求证:DF∥平面B1AE.‎ - 6 -‎ ‎(2)若AA1⊥底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.‎ ‎【解析】(1)设G为AB1的中点,连接EG,GF,‎ 因为FGA1B1,又DEA1B1,‎ 所以FGDE,所以四边形DEGF是平行四边形,‎ 所以DF∥EG,又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.‎ ‎(2)因为ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t>0),‎ 则A(0,0,0),E,,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),‎ ‎=,,0, =(,-1,t),=(0,2,t),‎ 设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·=(x+y)=0且n·=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则sin θ===,解得t=2,故线段AA1的长为2.‎ - 6 -‎ - 6 -‎