高考数学专题复习练习第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 7页

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 ‎1．下列命题正确的个数为(　　)．‎ ‎①经过三点确定一个平面；‎ ‎②梯形可以确定一个平面；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 解析　①④错误，②③正确．‎ 答案　C ‎2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 (　　)．‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交 解析　经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.‎ 答案　D ‎3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为(　　)‎ A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 解析 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．‎ 答案 C ‎ ‎4．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O是BD1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 (　　)．‎ A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面 解析　因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A‎1C上，O也是A‎1C的中点，又直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．‎ 答案　D ‎5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 (　　)．‎ A．AB∥CD ‎ B．AB与CD相交 C．AB⊥CD ‎ D．AB与CD所成的角为60°‎ 解析　如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.‎ 答案　D ‎6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)．‎ A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析　选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：‎ ‎①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．‎ 在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．‎ 解析　只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．‎ 答案　①②④‎ ‎8. 如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ 解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．‎ 答案　③④‎ ‎9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线 BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰 好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．‎ 解析 如题图所示，‎ 由A′O⊥平面ABCD，‎ 可得平面A′BC⊥平面ABCD，‎ 又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，‎ 即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.‎ 答案 90°‎ ‎10．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ 解析　法一　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．‎ 法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．‎ 答案　无数 三、解答题 ‎11． 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？‎ ‎(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.‎ 又BC綉AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．‎ ‎(2)解　由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.‎ 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．‎ 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．‎ ‎12．在长方体ABCD－A1B‎1C1D1的A‎1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．‎ ‎(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；‎ ‎(2)过P点在平面A‎1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？‎ 解　(1)连接B1D1，BD，在平面A‎1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．‎ ‎∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.‎ 图(a)‎ ‎(2)∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈.‎ 当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．‎ 图(b)‎ ‎13.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ ‎(1)求证：E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．‎ 证明　(1)△ABD中，E、F为AD、AB中点，‎ ‎∴EF∥BD.‎ ‎△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH(平行线公理)，‎ ‎∴E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，‎ ⇒P∈直线AC.‎ ‎∴P、A、C三点共线．‎ ‎14．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．‎ 解　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，‎ 即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，‎ ‎∵BO＝AB·sin 30°＝1，‎ 又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝，‎ ‎∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2.‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.‎ ‎(2)取AB的中点F，连接EF，DF，‎ ‎∵E为PB中点，∴EF∥PA，‎ ‎∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△AOB中，‎ AO＝AB·cos 30°＝＝OP，‎ ‎∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.‎ 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，‎ ‎∴cos∠DEF＝＝＝＝.‎ 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.‎