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  • 2021-06-24 发布

高考数学复习练习试题8_3 直线、平面垂直的判定及其性质

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‎§8.3 直线、平面垂直的判定及其性质 一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)‎ ‎1.(2010·北京海淀区期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下 列命题中不正确的是________.‎ ‎①若m∥α,α∩β=n,则m∥n ‎②若m∥n,m⊥α,则n⊥α ‎③若m⊥α,m⊥β,则α∥β ‎④若m⊥α,m⊂β,则α⊥β ‎2.(2010·盐城一模)若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命 题:‎ ‎①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;‎ ‎③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.‎ 其中正确的命题是________.(填序号)‎ ‎3.(2010·徐州模拟)已知平面α,β,γ及直线l,m满足:l⊥m,α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l, 则由此可推出:‎ ‎①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β中的________.‎ ‎4.(2010·淮阴模拟)已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;‎ ‎②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;‎ ‎③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;‎ ‎④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.‎ 其中真命题的序号是________.‎ ‎5.给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与 平面α垂直”的______________条件.‎ ‎6.(2010·镇江联考)已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下 列四个命题:‎ ‎①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;‎ ‎②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;‎ ‎③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α;‎ ‎④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ ‎7.(2010·连云港模拟)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给出下列命题:‎ ‎①若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ;‎ ‎②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ;‎ ‎③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α垂直;‎ ‎④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α平行于平面β.‎ 上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).‎ ‎8 如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A 在PB、PC上的正投影,给出下列结论:‎ ‎①AF⊥PB;②EF⊥PB;‎ ‎③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ ‎9.a、b表示直线,α、β、γ表示平面.‎ ‎①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;‎ ‎②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;‎ ‎③若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;‎ ‎④若a不垂直于平面α,则a不可能垂直于平面α内无数条直线;‎ ‎⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.‎ 上述五个命题中,正确命题的序号是________.‎ 二、解答题(本大题共3小题,共46分)‎ ‎10.(14分)若P为△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证: BC⊥AC.‎ ‎11.(16分)(2010·江苏)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC =BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.‎ ‎(1)求证:PC⊥BC;‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离.‎ ‎12.(16分)(2010·南京二模)在三棱柱ABC—A1B‎1C1中, AA1⊥BC,∠A‎1AC =60°,A‎1A=AC=BC=1,A1B=.‎ ‎(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC‎1A1;‎ ‎(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.‎ 答案 ‎1.① 2.②③ 3.② 4.②③ 5.必要不充分 6.②③ 7.①② 8.①②③ 9.②⑤‎ ‎10.证明∵平面PAC⊥平面PBC,‎ 作AD⊥PC垂足为D,‎ 根据平面与平面垂直的性质定理知:‎ AD⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,‎ 则BC⊥AD,又PA⊥平面ABC,‎ 则BC⊥PA,∴BC⊥平面PAC.‎ ‎∴BC⊥AC.‎ ‎11.(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴PD⊥BC.‎ ‎∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD.‎ 又PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD.‎ 而PC⊂平面PCD,∴PC⊥BC.‎ ‎(2)解 如图,过点A作BC的平行线交CD的延长线于E,过点E 作PC的垂线,垂足F,则有AE∥平面PBC,∴点A到平面PBC的距离等于点E到平 面PBC的距离.‎ ‎∵BC⊥平面PCD,‎ ‎∴EF⊥BC.‎ 又EF⊥PC,BC∩PC=C,‎ ‎∴EF⊥平面PBC.‎ EF即为E到平面PBC的距离.‎ 又∵AE∥BC,AB∥CD.‎ ‎∴四边形ABCE为平行四边形.‎ ‎∴CE=AB=2.‎ PD=CD=1,PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PD⊥CD,∠PCD=45°.‎ ‎∴EF=,‎ 即点A到平面PBC的距离为.‎ ‎12.证明 (1)因为∠A‎1AC=60°,A‎1A=AC=1,‎ 所以△A‎1AC为等边三角形.所以A‎1C=1.‎ 因为BC=1,A1B=,所以A‎1C2+BC2=A1B2.‎ 所以∠A1CB=90°,即A‎1C⊥BC.‎ 因为BC⊥A‎1A,BC⊥A‎1C,AA1∩A‎1C=A1,‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1.‎ 因为BC⊂平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎(2)连结AC1交A‎1C于点O,连结OD. ‎ 因为ACC‎1A1为平行四边形,‎ 所以O为AC1的中点.‎ 因为D为AB的中点,所以OD∥BC1.‎ 因为OD⊂平面A1CD,‎ BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.‎