高考数学复习练习试题3_2导数的应用 3页

‎§3.2　导数的应用 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是______．‎ ‎2．(2010·南京模拟)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是_ _________．‎ ‎3．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为______________．‎ ‎4．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是__________．‎ ‎5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎6．(2010·镇江模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．‎ ‎7．(2009·辽宁)若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.‎ ‎8．(2010·苏州3月质检)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.‎ ‎9．已知某质点的运动方程为s(t)＝t3＋bt2＋ct＋d，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t∈时，s(t)<3d2恒成立，则d的取值范围为__________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．‎ ‎(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；‎ ‎(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．‎ ‎11.(16分)(2010·南通模拟)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．‎ ‎12．(16分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ 答案 ‎1．－ 2. 3．f(－a2)≤f(－1) 4．[－1,2] 5．m≥ ‎6．－37 7．3 8．－2 9．d>或d<－1‎ ‎10．解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，‎ f′(1)＝f′(－1)＝0，即，‎ 解得a＝1，b＝0.‎ 所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1.‎ 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，‎ 故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，‎ f(x)在(1，＋∞)上是增函数．‎ 若x∈(－1,1)，则f′(x)<0，‎ 故f(x)在(－1,1)上是减函数．‎ 所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．‎ ‎(2)曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上．‎ 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.‎ 因f′(x0)＝3(x－1)，‎ 故切线方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)，‎ 注意到点A(0,16)在切线上，‎ 有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)，‎ 化简得x＝－8，解得x0＝－2.‎ 所以，切点为M(－2，－2)，‎ 切线方程为9x－y＋16＝0.‎ ‎11．解　函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.‎ 当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；‎ 当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1＋∞)上为增函数．‎ 依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.‎ 所以a的取值范围为[5,7]．‎ ‎12．解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．‎ 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，‎ ‎∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．‎ 当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>；‎ 由f′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，‎ ‎(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．‎ ‎(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，‎ ‎∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.‎ ‎∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.‎ 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.‎ 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，‎ 在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.‎ ‎∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，‎ ‎∴结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．‎