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- 2021-06-24 发布
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考点规范练47 抛物线
考点规范练A册第36页
基础巩固组
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
答案B
解析由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.-1716 B.-1516 C.1716 D.1516
答案B
解析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.
设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,y0=-1516.
3.(2016河南中原学术联盟仿真)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8〚导学号74920336〛
答案D
解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.
设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.
由抛物线的定义知
|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.
4.(2016河南商丘三模)已知抛物线y2=8x与双曲线x2a2-y2=1的一个交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.5x±3y=0 B.3x±5y=0
C.4x±5y=0 D.5x±4y=0
答案A
解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.
设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3.
由n2=24,可得n=±26.
将M(3,±26)代入双曲线x2a2-y2=1,
可得9a2-24=1,解得a=35,
即有双曲线的渐近线方程为y=±53x,即5x±3y=0.
5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12〚导学号74920337〛
答案B
解析∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),
∴E的右焦点的坐标为(2,0).
设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∴c=2.
∵ca=12,∴a=4.
∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为x216+y212=1.
∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.
6.(2016河北南宫一中三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=( )
A.19 B.14 C.13 D.12〚导学号74920338〛
答案A
解析因为抛物线的准线为x=-p2,所以有1+p2=5,得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-a,0),所以有41+a=1a,解得a=19,故选A.
7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案9
解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.
8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .〚导学号74920339〛
答案2
解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),
化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
设l的方程为x=ty+m.
由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,
于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.①②
因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),
所以FA·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.
又FA·FB<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③
因为x=y24,所以不等式③可变形为
y124·y224+y1y2-y124+y224+1<0,
即(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④
将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤
因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-220)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.33 B.23 C.22 D.1〚导学号74920343〛
答案C
解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),Fp2,0,
则FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.
∵FM=13FP,
∴x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,∴x=2p3t2+p3,y=2pt3.
∴kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22,
当且仅当t=22时等号成立.
∴(kOM)max=22,故选C.
13.
如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba= .〚导学号74920344〛
答案1+2
解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,Dp2,0,Fp2+b,b,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2pp2+b=a2+2ab,
变形得ba2-2ba-1=0,
解得ba=1+2或ba=1-2(舍去),所以ba=1+2.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
解(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.
所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.
由题设得p2+8p=54×8p,
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).
又l'的斜率为-m,
所以l'的方程为x=-1my+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,
即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.〚导学号74920345〛
高考预测
15.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.
(1)若直线AB的斜率为12,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;
(2)若AP=λPB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有QP⊥(QA-λQB)?若存在,求Q点坐标;若不存在,说明理由.
解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),
则直线AB的方程为y-2=12x,即x-2y+4=0.
由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).
又x2=4y,可得y=14x2,故y'=12x,
故抛物线在点A处切线的斜率为2.
设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,
解得a=-1,b=132,r2=1254,
故圆的方程为(x+1)2+y-1322=1254,
即为x2+y2+2x-13x+12=0.
(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.①
由已知AP=λPB得-x1=λx2.
若k=0,这时λ=1,要使QP⊥(QA-λQB),Q点必在y轴上.
设点Q的坐标是(0,m),从而QP=(0,2-m),
QA-λQB=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),
故QP·(QA-λQB)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,
即y1-λy2-m(1-λ)=0,
即x124+x1x2·x224-m1+x1x2=0,
即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将①代入得m=-2.
所以存在点Q(0,-2)使得QP⊥(QA-λQB).〚导学号74920346〛
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