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- 2021-06-24 发布
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2019届高三数学专题练习解三角形
1.解三角形中的要素
例1:的内角,,所对的边分别为,,,若,,,则_____.
2.恒等式背景
例2:已知,,分别为三个内角,,的对边,
且有.
(1)求;
(2)若,且的面积为,求,.
一、单选题
1.在中,,,,则( )
A. B. C. D.
2.在中,三边长,,,则等于( )
A.19 B. C.18 D.
3.在中,角,,所对应的边分别是,,,若,则三角形一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
4.的内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为( )
A. B. C. D.
5.在中,内角,,的对边分别为,,,若,,则( )
A. B. C. D.
6.设的三个内角,,所对的边分别为,,,如果,且,那么外接圆的半径为( )
A.1 B. C.2 D.4
7.在中,角,,所对的边分别为,,,且,若,
则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.的内角,,的对边分别是,,且满足,则是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
9.在中,内角,,所对的边分别为,,,已知的面积为,,,则的值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
10.在中,,,分别为角,,所对的边.若,
则( )
A. B. C. D.
11.在中,内角,,的对边分别是,,,若,则是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
12.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,
则( )
A. B. C.或 D.
二、填空题
13.在中,角,,的对边分别为,,,,,则角的最大值为_____;
14.已知的三边,,成等比数列,,,所对的角分别为,,,则的取值范围是_________.
15.在中三个内角,,,所对的边分别是,,,若,且,则面积的最大值是________
16.在锐角中,角,,所对的边分别为,,,且,,成等差数列,,则面积的取值范围是__________.
三、解答题
17.己知,,分别为三个内角,,的对边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,且的面积为,求的值.
18.如图,在中,点在边上,,,.
.
(1)求的面积.
(2)若,求的长.
答案
1.解三角形中的要素
例1:的内角,,所对的边分别为,,,若,,,则_____.
【答案】
【解析】(1)由已知,,求可联想到使用正弦定理:,
代入可解得:.由可得:,所以.
2.恒等式背景
例2:已知,,分别为三个内角,,的对边,
且有.
(1)求;
(2)若,且的面积为,求,.
【答案】(1);(2)2,2.
【解析】(1)
,
即
∴或(舍),∴;
(2),
,
∴,可解得.
一、单选题
1.在中,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理可得,
且,
由余弦定理可得:.故选A.
2.在中,三边长,,,则等于( )
A.19 B. C.18 D.
【答案】B
【解析】∵三边长,,,
∴,
.故选B.
3.在中,角,,所对应的边分别是,,,若,则三角形一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】C
【解析】∵,由正弦定理,,∴,
∵,,为的内角,∴,,,
∴,,整理得,
∴,即.故一定是等腰三角形.故选C.
4.的内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知,,,
∴由余弦定理,可得:,
解得:,,∴.故选A.
5.在中,内角,,的对边分别为,,,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据正弦定理由得:,
所以,即,
则,
又,所以.故选A.
6.设的三个内角,,所对的边分别为,,,如果,且,那么外接圆的半径为( )
A.1 B. C.2 D.4
【答案】A
【解析】因为,所以,化为,
所以,又因为,所以,
由正弦定理可得,所以,故选A.
7.在中,角,,所对的边分别为,,,且,若,
则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为,所以,
也就是,所以,从而,
故,为等边三角形.故选C.
8.的内角,,的对边分别是,,且满足,则是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】利用正弦定理化简已知的等式得:
,即,
∵,,为三角形的内角,∴,即,
则为直角三角形,故选B.
9.在中,内角,,所对的边分别为,,,已知的面积为,,,则的值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
【答案】A
【解析】因为,所以,
又,∴,解方程组得,,
由余弦定理得,所以.故选A.
10.在中,,,分别为角,,所对的边.若,
则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
∵,可得:,
∴,∴,
∵,∴,∴,
∵,∴.故答案为C.
11.在中,内角,,的对边分别是,,,若,则是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵,由正弦定理得:,,代入,
得,∴进而可得,
∴,则是等边三角形.故选D.
12.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,
则( )
A. B. C.或 D.
【答案】B
【解析】利用正弦定理,同角三角函数关系,原式可化为:,
去分母移项得:,
所以,
所以.由同角三角函数得,
由正弦定理,解得所以或(舍).故选B.
二、填空题
13.在中,角,,的对边分别为,,,,,则角的最大值为_____;
【答案】
【解析】在中,由角的余弦定理可知
,
又因为,所以.当且仅当,时等号成立.
14.已知的三边,,成等比数列,,,所对的角分别为,,,则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】∵的三边,,成等比数列,
∴,得,
又∵,∴,,
可得,故答案为.
15.在中三个内角,,,所对的边分别是,,,若,且,则面积的最大值是________
【答案】
【解析】∵,
∴,
则,结合正弦定理得,即,
由余弦定理得,化简得,
故,,故答案为.
16.在锐角中,角,,所对的边分别为,,,且,,成等差数列,,
则面积的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵中,,成等差数列,∴.
由正弦定理得,∴,,
∴
,
∵为锐角三角形,∴,解得.
∴,∴,
∴,故面积的取值范围是.
三、解答题
17.己知,,分别为三个内角,,的对边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,且的面积为,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由正弦定理得,,
∵,∴,即.
∵∴,∴,∴.
(2)由可得.∴,
∵,∴由余弦定理得:,
∴.
18.如图,在中,点在边上,,,.
.
(1)求的面积.
(2)若,求的长.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题意,
在中,由余弦定理可得
即或(舍),
∴的面积.
(2)在中,由正弦定理得,
代入得,由为锐角,故,
所以,
在中,由正弦定理得,
∴,解得.
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