2019年高考数学练习题汇总压轴小题组合练(B) 8页

压轴小题组合练(B)‎ ‎1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B 解析　把y＝x＋3代入椭圆方程，得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由于只有一个公共点，所以Δ＝0，得a2＋b2＝9，又＝，所以＝，解得a2＝5，b2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎2.(2018·淮南模拟)已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN分别与AB，AC交于点M，N，且＝x，＝y(x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.＋ 答案　D 解析　如图，∵M，N，G 三点共线， ∴＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)， ‎ ‎∵G是△ABC的重心，∴＝(＋)，‎ ‎∴(＋)－x＝λ， ‎ ‎∴解得(3x－1)(3y－1)＝1.‎ 结合图象可知≤x≤1，≤y≤1.‎ 令3x－1＝m，3y－1＝n，‎ 故mn＝1，x＝，y＝，‎ 故3x＋y＝1＋m＋＝＋m＋≥＋2＝＋，‎ 当且仅当m＝，n＝时等号成立.‎ ‎3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE＝1，BE＝3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分别交于F，G两点，则△AFG的面积为(　　)‎ A.4－2 B.3 C.2＋2 D.4‎ 答案　D 解析　正方体的棱长为4，则DE＝，EC＝5.‎ 作EH⊥A1B1 于H，‎ 则EF＝EG＝EC＝5，A1F＝2，DG＝2，则FH＝＝3 ，‎ 所以S△AFG＝－S△ADG ‎ ‎＝16－4－2－4＝16－4－12＋8－4＝4.‎ ‎4.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若|PF1|＝8，则双曲线的焦距等于(　　)‎ A.6 B.6 C.3 D.3‎ 答案　A 解析　如图，不妨设点P在第一象限，连接PF2，依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，连接NM，则NM⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝，则＝，解得|PF2|＝，由勾股定理可得|PF1|＝＝＝，所以＝8，得c＝3，故双曲线的焦距为6.‎ ‎5.已知抛物线T的焦点为F，准线为l，过F的直线m与T交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，若m与l不平行，则△CMD是(　　)‎ A.等腰三角形且为锐角三角形 B.等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形 答案　A 解析　不妨设抛物线T的方程为y2＝2px(p>0).‎ ‎∵点A在抛物线y2＝2px上，F为抛物线的焦点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，NM是M到抛物线准线的垂线，垂足为N，准线与x轴的交点为E，如图：‎ ‎∴在△CMD中，|CN|＝|ND|，∴△CMD是等腰三角形，‎ 又根据抛物线定义，|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，‎ ‎∴∠CFD＝∠CFE＋∠DFE＝∠ACF＋∠BDF＝∠AFC＋∠BFD.‎ 可得∠CFD＝90°，又|MN|>|EF|，可得∠CMD<90°.‎ 则△CMD是等腰三角形且为锐角三角形.‎ ‎6.(2018·马鞍山模拟)已知M，N为椭圆＋＝1(a>b>0)上关于长轴对称的两点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则|k1＋4k2|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设M(x0，y0)，N(x0，－y0)，‎ ‎∴k1＝，k2＝，∴＝＝，‎ ‎∴|k1＋4k2|＝≥2＝4，‎ 由题意得y＝(a2－x)，‎ 所以|k1＋4k2|≥4＝4＝.‎ ‎7.已知棱长为的正四面体A－BCD(四个面都是正三角形)，在侧棱AB上任取一点P(与A，B都不重合)，若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则＋的最小值为(　　)‎ A. B.4 C. D.5‎ 答案　C 解析　由题意得aS△BCD＋bS△ACD＝h·S△BCD，其中S△BCD＝S△ACD，h为以△BCD为底面的正四面体A－BCD的高.‎ h＝＝2，∴a＋b＝2.‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号.‎ ‎8.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于(　　)‎ A.1＋2 B.4－2 C.5－2 D.3＋2 答案　C 解析　设|AF1|＝|AB|＝m，则|BF1|＝m，‎ ‎|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，‎ ‎∵|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m，‎ ‎∴m－2a＋m－2a＝m，解得4a＝m，‎ ‎∴|AF2|＝m，‎ 在Rt△AF1F2中，由勾股定理得4c2＝m2.‎ ‎∵4a＝m，‎ ‎∴4c2＝×8a2，‎ ‎∴e2＝5－2.‎ ‎9.(2018·河北省衡水金卷调研)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1，过点F，F1的直线与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y＝－x垂直，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 答案　B 解析　由题意可知，直线FF1的方程为y＝－x＋1，‎ 由得xM＝，‎ 又由x2＝4y，即y′＝x，‎ 因此×(－)＝－1，‎ 即c＝，所以a2＋b2＝3，‎ 又 a2＋b2≥2ab，即3≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号，即(ab)max＝.‎ ‎10.点M(3，2)到抛物线C：y＝ax2(a>0)准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点N(1，1)，当点P在直线l：x－y＝2上运动时，的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　∵点M(3，2)到抛物线C：y＝ax2(a>0)准线的距离为4，‎ ‎∴2＋＝4，∴a＝，∴抛物线C：x2＝8y，‎ 直线l：x－y＝2与x轴交于A(2，0)，则FA⊥l，‎ 且点N，A，F三点共线，‎ 设|AP|＝t，则|AN|＝，|AF|＝2，|PN|＝，|PF|＝，‎ 设－1＝m(m≥－1)，则＝＝＝，‎ ‎∴m＝－1，即t＝0时，的最小值为.‎ ‎11.如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)‎ A.7π B.5π C.3π D.π 答案　A 解析　依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝，O1D＝1及OB＝OD，可得OB＝，则外接球的半径R＝.所以该球的表面积S球＝4πR2＝7π.‎ ‎12.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是B1C1的中点，若正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球与直线EF交于点G，H，且GH＝3，若点Q是棱BB1上一个动点，则AQ＋D1Q的最小值为(　　)‎ A.6 B.3 C.6 D.6 答案　C 解析　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，内切球球心为O，‎ 由题意可得内切球半径r＝.‎ OE＝OF＝a，EF＝＝a，‎ 取EF中点P，则OP＝＝a，‎ 所以cos∠POG＝＝＝，‎ 所以∠GOH＝，OG＝＝，a＝3，‎ 把平面DD1B1B与平面AA1B1B展成一个平面，‎ 则A，Q，D1共线时AQ＋D1Q最小，最小值为 D1A＝＝＝6.‎ ‎13.(2018·天津滨海新区联考)已知正实数a，b满足2a>b，且ab＝，则的最小值为________.‎ 答案　2 解析　由题意得2a－b>0，‎ ＝＝＝(2a－b)＋ ≥2，‎ 当且仅当2a－b＝，即b＝时等号成立.‎ ‎14.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若对任意λ∈R，不等式|λ－|≥||恒成立，则＋的最大值为________.‎ 答案　 解析　由题意知cos A＝，b2＋c2＝2bccos A＋a2.对任意λ∈R，不等式|λ－|≥||恒成立⇔(|λ－|)min≥||恒成立⇔BC边上的高h大于等于||恒成立⇔h≥a，∵S△ABC＝ah＝bcsin A≥a2，∴a2≤bcsin A，∴b2＋c2≤2bccos A＋bcsin A，由此可知＋≤2cos A＋sin A＝sin(A＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(A＋φ)＝1时，＋取得最大值.‎ ‎15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：‎ ‎①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E－AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 答案　①③④‎ 解析　①因为点A∉平面BB1C1C，点C∉C1E，所以直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E⊥AB1时，直线A1E⊥平面AB1C1.所以A1E⊥AC1，错误；③球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1∥平面AA1O，所以点E到底面距离不变，体积为定值；④将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1交点时，AE＋EC1取得最小值2.所以正确命题的序号是①③④.‎ ‎16.(2018·四川省成都市石室中学模拟)已知四面体A－BCD的所有棱长都为，O是该四面体内一点，且点O到平面ABC，平面ACD，平面ABD，平面BCD的距离分别为，x，和y，则＋的最小值是________.‎ 答案　 解析　该几何体为正四面体，体积为×××××2＝.各个面的面积为×2＝，所以四面体的体积又可以表示为××＝，化简得x＋y＝，故＋＝××＝≥＝.